高二数学试题（文）
一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列命题是真命题的为 (A)
A．若C．若
,则,则
B．若 D．若
,则,则
2. 已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( D )
1
A．x＝－2 B．x＝－1 C．x＝5D．x＝0
π
3. 命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是
ππ
A．若α≠4，则tan α≠1 B．若α＝4，则tan α≠1
ππ
C．若tan α≠1，则α≠4D．若tan α≠1，则α＝4 4.设斜率为2的直线过抛物线(A.
5. 设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为
A．e
2
( C )
的焦点，且和
轴交于点,若
为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( B).
B.
C.
D.
( B )
B．e
ln 2
C.2
D．ln 2
6.双曲线A. D. 6
的渐近线与圆相切，则(A )
B. 2 C. 3
7.设使得A.
、分别为双曲线
，
，的左、右焦点，双曲线上存在一点
，则该双曲线的离心率为( B)
C.
D.
B.
8. 设
椭圆的左、右焦点
分别为
，
是上的点，
，，则的离心率为（ D ） A. B. C. D.
9.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( A ) A.2 B.3C.10. 的顶点， D. 的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是( C ) A. B. C.
D.
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.
11. “若a≤b，则ac≤bc”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是__2______．
12.“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的___必要不充分_____条件．
13. 如果直线l将圆C：(x－2)＋(y＋3)＝13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为________.
1214. 若函数f(x)＝2x－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是___[2，
＋∞)_____ 2222
15. 椭圆
的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为 .
16. 过抛物线
线段AB的长为8，则的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若______2__________ .
为原点，
. ，动点满足，17. 在平面直角坐标系中，则的最大值是
三、解答题：本大题共5小题, 共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本题12分）已知命题函数在定义域上单调递增；命题
不等式对任意实数恒成立．若
围. 是真命题，求实数的取值范
已知命题p：方程2x＋ax－a＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式
2x0＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
a22解 由2x＋ax－a＝0得(2x－a)(x＋a)＝0, ∴x＝2或x＝－a，
a∴当命题p为真命题时2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.
2又“只有一个实数x0满足不等式x0＋2ax0＋2a≤0”，
即抛物线y＝x＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2. 即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．
19.（本题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－).
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积.
(1)解 ∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x－y＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－)在双曲线上，可得λ＝4－(－)＝6，∴双曲线方程为x－y＝6.
(2)证明 ∵点M(3，m)在双曲线上，∴3－m＝6，∴m＝3， 2222222222222
又双曲线x－y＝6的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，
MF1MF2222∴→·→＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)－(2)＋m＝9－12＋3＝0，
∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上.
(3)解 1＝2×4×|m|＝6. 22
2220.（本题13分）已知椭圆C：x＋2y＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
x2y222222解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为4＋2＝1.所以a＝4，b＝2，从而c＝a－b＝
2.
c2因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝a＝2.
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
OAOB2y0因为OA⊥OB，所以→·→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－x0.
222y0222222222又x0＋2y0＝4，所以|AB|＝(x0－t)＋(y0－2)＝x0＋(y0－2)＝x0＋y0＋000＋4
222222222＝x0＋00＋000＋4＝00＋00＋4 (0＜x0≤4)．
222222因为00＋00≥4(0＜x0≤4)，当x0＝4时等号成立，所以|AB|≥8.
故线段AB长度的最小值为2.
21.（本题14分）如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于
4点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝3.
(1)求新桥BC的长．
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
解： 方法一：
(1)如图所示， 以O为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy
.
由条件知A(0, 60), C(170，0)，
4直线 BC 的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－3.
3又因为 AB⊥BC, 所以直线AB的斜率kAB＝4.
设点 B 的坐标为(a，b)，
b－04b－603则kBC＝a－170＝－3， kAB＝a－0＝4，
解得a＝80, b＝120，
所以BC＝＝150.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m, OM＝d m (0≤d≤60)．
4由条件知， 直线BC的方程为y＝－3(x－170)，
即4x＋3y－680＝0.
由于圆M与直线BC相切， 故点 M(0, d)到直线BC的距离是r，
|3d － 680|680－3d即r＝42＋32＝5.
r－d≥80，因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以r－（60－d）≥80，
680 － 3d即－（60－d）≥80，
解得10≤d≤35.
680 － 3d故当d＝10时， r ＝5最大， 即圆面积最大，
所以当OM＝10 m时， 圆形保护区的面积最大．
方法二：
(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F.
4因为 tan∠FCO＝3，
43所以sin∠FCO＝5， cos∠FCO＝5.
因为OA＝60，OC＝170，
680OC850500所以OF＝OC tan∠FCO＝3， CF＝cos∠FCO＝3， 从而AF＝OF－OA＝3.
4因为OA⊥OC, 所以cos∠AFB ＝sin∠FCO＝5.
400又因为 AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝3， 从而BC＝CF－BF＝150.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆 M与BC的切点为D，连接 MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m (0≤d≤60)．
因为OA⊥OC, 所以sin∠CFO＝cos∠FCO.
MDMD6803680－3d故由(1)知sin∠CFO＝MF＝OF－OM＝－d＝5， 所以r＝5.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
r－d≥80，所以r－（60－d）≥80，
680－3d即－（60－d）≥80，
解得10≤d≤35.
680 － 3d故当d＝10时， r＝5最大，即圆面积最大，
所以当OM＝10 m时， 圆形保护区的面积最大．
22.（本题14分）设抛物线 （1）求抛物线
（2）若的方程； 的焦点，斜率为1的直线交抛物线A,B两点,轴负半轴上的点过点（是大于零的常数）. 是抛物线
满足，直线相交于点， 当时，
求直线
的方程.
武汉外校高二理科数学考试答题卷
一、选择题。（每小题5分，共50分）
二、
11. ，
13. ，14. ，15.
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
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