数学思维方法复习提纲
1、数学思维方法的层次性(P11)
（1）哲学意义上思辨的数学思维方法
（2）一般科学方法或称之为属于一般科学方法论形式的数学思维方法
（3）具有独特数学特征的思维方法
（4）初等数学特别是中小学中解题技能的思维方法
2、现代数学教育中，数学思维的教学有什么意义？(P18)
（1）数学思维的教学可以培养人们对数学观念、数学思想、数学理论的广泛理解。
（2）数学思维的教学可以使人们在处理问题时迅速抓住事物的本质，从而找到解决问题的办法。
（3）数学思维的教学可以使人们形成良好的思维习惯，增强人们在处理问题时的应变能力。
3、创造性思维在数学中的表现特点：
（1）创见性、新颖性是创造性思维的主要标志。
（2）发散思维与收敛思维相结合是创造性思维的基本图式。
（3）积极地创造性想象与现实统一是创造性思维的重要环节。
（4）专注与灵感是创造性思维的重要特点。
4、数学创造性思维的培养应注意的四个方面：
（1）在培养创造性因素方面，教师要设法引起学生的数学兴趣，并且积极提出问题来参与数学的教学活动。
（2）在数学知识和方法的储备方面，使学生根据自己的理解主动的掌握数学的知识和方法。
（3）在数学思维方式方面，由于逻辑思维是数学知识和理论的主要表现形式，因此应当格外注重非逻辑思维的培养。
（4）在具体创新思维方面，由于创造性思维方法已经有很多成熟的广泛运用的方法，所以在数学教学中应当有意识地学习或运用，使之与数学某些具体的问题相结合。
5、数学解题目标：
第一，通过解题加深对知识的理解，尤其是加强对基本概念、公式和理论的理解，使抽象的数学知识具体化。
第二，学会在解题中运用数学知识，增强自己解决实际问题的能力，尤其是把数学知识运用到具体问题上的能力。
第三，掌握数学思维方式，培养自己数学创造性思维的能力，这是培养数学学习兴趣，培养数学学习自信力的重要目标。
6、公理化方法的作用：
（1）公理化方法可以帮助一门学科由经验知识阶段迅速地上升到一种理性结构阶段。
（2）公理化方法可以进一步推动科学理论的发展。
（3）公理化方法在自然科学中的应用。
（4）公理化方法推动了结构主义运动。
（5）公理化方法有利于培养逻辑思维能力。
7、中小学常见的数学模型（举例说明）
1、经济生产类方面的数学模型（P160例2）
2、运动事物的数学模型 （如：一休解题）
3、概率、统计类的数学模型（P161例3）
4、逻辑程序方面的数学模型（P162-163例如）
8、中小学数学模型方法的教学应当强调哪些方面的问题？
1、通过对数学模型的构造能够深入的认识和理解数学的本质特征
2、运用数学模型的直观、形象作用，强化学生的数学感受能力
3、引导学生学会运用典型的数学模型方法，解决具体问题
9、对于化归法的应用，应当注意的三个问题：
1、化归在数学中的运用，不仅是转化而且还是一个"熟化"的过程
2、化归作为一种思维方式，作为一种解题方法，它体现了一种化难为易的形式
3、化归作为一种解题方式，有时会把一般性问题转化为特殊问题
10、类比猜想的图式表示：
A对象具有属性a,b,c,d
B对象具有属性a,b,c,d
B对象可能具有属性d
11、归纳猜想的图式表示：
S1具有P属性，
S2具有P属性，
......
S1，S2，......都是S类的典型
那么，一切S都有可能具有P属性
12、反例的作用：
第一，反例有助于发现原有数学理论的局限性，从而推动数学的迅速发展。
第二，反例有助于澄清数学概念和理论，从而使人们深入理解数学的内涵。
第三，反例有助于数学的学习，有助于提高数学学习的兴趣和研究、构造数学的能力。
论述：数学模型建构的步骤，并能用一个例子加以说明。（P158）
第一步，弄清实际问题：对所研究的实际问题即现实原型进行分析，确定对象与结构关系（包括量变因果关系）的本质属性，以确定其类别以及准备采用的基本数学方法。
第二步，化简问题：确定所研究对象的关系并力求抓住主要矛盾。在对所研究对象进行全面、深入、细致地分析的基础上，归纳、综合、抽象出主要特征来，也可以借助于物理图像或机械形象，使所研究的对象图象化、形象化，以便确立对象的系统类别。
第三步，建立数学模型：进行数学意义上的思维创造，即进行数学上的抽象化过程，并对事物及诸对象间的关系给予数学上概念、符号、语言规范的表达式（即数学模型）。
第四步，模型求解和检验：对已构造的数学模型进行理论和实践两个方面的检验。理论上，首先要看其表述能否真正表达原型的本质关系结构，其次是理论自身的问题是否可以解决。否则就要对所建立的模型进行修改。
1弄清实际问题;这是一个随机性类型的问题.
2化简问题。有关的因素是甲方已经胜第一局，后两局甲乙都有胜负的可能。比赛规则为三局两胜制，所以甲只要再胜一局就赢了。
3建立数学模型。甲可能胜得机会;
4模型求解和检验:在第二、三局中，甲共有4次机会，从图可看出甲有3/4的机会获胜。所以乙有1/4的
案例1： 三段论：是由两个判断，得出第三个判断的一种推理方式。
三段论基本模式：大前提：一切M都是(或不是)P,
小前提：S是M，
结 论：S是（或不是）P
案例2、观察与实验。能结合实例说明观察与实验在中小学数学学习中的作用。 案例3、给出一个数学命题，写出解题思维方法，框图表示。
案例4、分析法与综合法
分析法：把研究对象分解各个组成部分、各个不同的因素、各个不同的层次，然后分别地加以研究探索，从而深刻地认识和理解事物的一种方法。
综合法：把研究对象的各个部分、方面、因素都联系起来加以研究考虑，从而在整体上认识和掌握事物的本质和规律的一种思维方法。
数学思维方法研究的对象：思维、数学思维、数学发展中的发现、发明与创造的思维过程。
思维：是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。 思维的特征：思维的方向性、思维的概括性、思维的间接性
思维的分类：（1）根据思维的形态不同分为：动作思维、形象思维、抽象思维 （2）根据思维过程的指向不同：集中思维、发散思维 （3）根据思维的智力品质不同：习惯性思维、创造性思维
数学思维：是人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。
数学思维的过程：就是不断提出问题的过程
数学思维的能力：就是提出数学问题、解决数学问题的能力
数学思维的特征：高度抽象性、形式化的严谨性、表现方式的多样性
数学思维方法：是由数学的符号、概念、语言按照数学特定的规律、法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。
数学思维方法分类：
按照数学思维方法适用的范围不同：宏观思维方法、微观思维方法
按照数学思维的逻辑形式不同：逻辑思维方法、非逻辑思维方法
按照数学思维解决问题的方式不同：程式化思维、发现性思维
逻辑思维的主要类型：形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑
逻辑思维基本规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由律
逻辑思维基本形式：数学概念、数学判断、数学的推理与证明
归纳推理的概念：是由已知为真的命题做前提，引出可能真实命题做结论的推理。 归纳推理的分类：不完全归纳推理、完全归纳推理
演绎推理：是从一般原理推导出个别结论的思维方法，即从一般性较大的前提推导出一般性较小结论的推理方法。
三段论：是由两个判断，得出第三个判断的一种推理方式。数学中的非逻辑思维包括：形象思维、直觉思维、灵感思维、想象
形象思维：是以直观形象和表现来思考问题的思维，它不是以概念为单元来进行思维，
而是以直观形象来进行思维。
形象思维在数学中的重要作用：
（1）形象思维使人们对数学的概念理论有一种直观形象的理解，从而有助于学习和运用数学。
（2）形象思维可以获得抽象思维不能取得的成果，形象思维可以帮助人们在数学思维时，有所突破=有所创新。
直觉思维：是一种对事物、问题、现象的直接领悟式的思维。
直觉思维特征：直觉思维的非逻辑性、直觉思维的直接性、直觉思维的模糊性 直觉思维作用：选择作用、创新作用、
灵感：所谓灵感，并不是神秘的东西，而是经过长时间的实践和思考之后，思想处于高度集中和紧张状态中，对所考虑的问题已基本成熟而又未完全成熟，一旦受到某种启示而产生的新思想。
灵感特征：（1）长期思维后的突发性 （2）模糊性与突逝性
产生和运用灵感的三个方面：（1）对要解决的问题集中强化进行思考。（2）高度紧张之后要有意识的松弛一下精神。（3）当灵感来临时要迅速捕捉。
想象：是人在客观事物的影响下，在言语的调节下，把头脑中已有的表象经过结合和改造而产生新表象的心理过程。
数学想象：
数学想象特征：（1）数学想象具有形象性特征 （2）数学想象的概括性、直觉性特征
（3）数学想象的整体性特征
数学想象作用（P50）：
（1）在利用数学想象解决数学问题方面
（2）在利用数学想象完成创造性思维方面
创造性思维：是指有创见性的思维，通过这种思维人们不仅可以揭示事物的本质及其内在联系，而且还能在此基础上产生新颖的、独创的、有社会意义的思维。
数学创造性能力的培养内容：激发学生创造性思维的兴趣、学会用创造性思维的方式，养成创造性思维的习惯。
数学解题：就是求得一个正确的解题过程和一个正确的结论。
数学解题的一般程序（并能通过一个例子对数学解题的一般程序给予说明）P102
（1） 弄清问题
（2） 分析和制定解题步骤
（3） 完成解题计划并检验
（4） 解题后的研究
合情推理强调了思维的三性：主动性、情感性、试错性
类比推理：是指根据两个不同对象的某些方面（如特征、属性、关系等）相同或相似，推导出或猜出它们在其他方面可能具有相同或相似的思维方式。
类比推理分类：
1、 从个别到一般的推广
2、 某些特征的类比推理
3、 方法上的类比推理
类比推理作用：
（1）可以提出新问题和获得新发现
（2）可以在求解问题中得到应用
（3）可以用来对猜测进行检验
经验归纳：是一种从个别到一般，从经验事实或实验事实到理论的一种寻找真理或发现真理的方法。
经验归纳作用：（P113）
1、 用经验归纳法发现问题的结论
2、 用经验归纳发现解决问题的途径
数学猜想：是指人们根据已知的某些数学知识和某些事实，对数学的某些理论、方法等提出提出一些猜测性的推断。
提出数学猜想的方法：
1、 由归纳提出数学猜想
2、 由类比产生的数学猜想
3、 由直观事实产生数学猜想
4、 由数学理论引出的猜想
数学猜想的特征：待定性、创新性
数学猜想在思维上的创新表现在四方面：提出新问题、预见新事物、揭示新规律、揭示新方法
举例说明用经验归纳法发现问题、提出猜想，并给予证明。
公理化方法：就是由尽可能少的不加定义的原始概念（基本概念）和一组不加证明的原始命题（公理或公设）出发，运用逻辑规则推导出其余命题或定理，把一门学科建立成为演绎系统的一种方法。
公理化方法的历史发展大致可划分为哪三个阶段？
（1）公理化方法的产生
（2）公理化方法的发展
（3）公理化方法的形式化
运用公理化方法在构造一个演绎系统时，最重要的内容是什么？（P138）
引进基本概念、建立一组公理，并且按照严格的逻辑形式把它构造成一个形式化的演绎系统。
选择基本概念的要求：
（1）必要性。这组原始术语中不包括该学科中不必要的术语。
（2）独立性。这组原始术语中的任何一个都不能由其他术语来加以定义。
（3）完备性。这组原始术语足以定义该学科所需要的其他全部术语。
选择公理的要求：协调性要求、独立性要求、完备性要求
模型：指人们为某种特定的目标而对认识对象进行的一种形象的描述，通常把这种建立或构造模型的过程称之为模型方法。
模型方法的意义：
1、模型方法是一种特殊的有效的模型方法
2、模型方法有助于人类深入的认识宏观和微观世界
3、模型方法提供了是思维定量化、形式化和科学化发展的具体措施
4、模型方法促进了模拟、类比方法的现代化
数学模型方法：简称MM方法，是一种模拟化方法的定量形式，是对模型的一种量化思维。 数学模型（广义）：数学中的各种基本概念都是数学模型。
数学模型（狭义）：是将具体属性抽象出来构成的一种特定数学关系结构，只有那些反映特定问题或特定事物系统的数学结构才叫数学模型。
数学模型的分类：描述性数学模型、解释性数学模型
描述性数学模型：从特殊到一般，即从分析具体客观事物及状态中，经过数学语言（概念、符号、公式）的描述，得到一个数学模型。
描述性数学模型分类：确定性数学模型、随机性数学模型、模糊数学模型
中小学数学模型方法的教学应当强调哪些方面的问题？
1、通过对数学模型的构造能够深入的认识和理解数学的本质特征
2、运用数学模型的直观、形象作用，强化学生的数学感受能力
3、引导学生学会运用典型的数学模型方法，解决具体问题
数学中的化归方法：把待解决或未解决问题，通过某种转化过程，归结到一类已能解决或者较容易解决的问题中去，获得问题的解决。
化归三要素;化归对象、目标、途径。
利用化归法学习新知识、指导解题、利用化归原则理清知识结构
化归法在数学解题中的意义：
1、化归在数学中的运用，不仅是转化而且还是一个"熟化"的过程
2、化归作为一种思维方式，作为一种解题方法，它体现了一种化难为易的形式
3、化归作为一种解题方式，有时会把一般性问题转化为特殊问题
化归法的分类：
1、从数学化归法应用范围来划分：外部的化归方法（将实际问题转化为数学模型）和内部的化归方法（将一类数学问题转化为另一类数学问题）
2、从数学化归法解决数学问题的形式来划分：计算式化归方法和论证式化归方法
3、从数学化归法利用数学工具的方式来划分：变量代换法、坐标变换法、参数变换法、分解与组合法、映射法
化归法的应用要注意的三个问题：掌握化归法的核心思想、运用好化归的方向及目标、化归法的局限性
变形法可分为：等价变形、恒等变形、同解变形、参数变形
分割法可分为：整体分割法、外延分割法、条件分割法、局部变动法
给出数学题，能写出解题的思维方法并解答，还会用框图表示RMI方法解题的过程。 RMI方法在数学中的作用：
1、RMI方法是解决数学问题的一个重要思路
2、RMI方法是一种数学创造的方法
3、可解决理论的整体性结构的数学问题
运用RMI方法应当注意到问题：
1、能否在解题时考虑在另一关系中寻找或构造出该问题的模型
2、能否用另一知识系统中的语言来改述与解决这个问题
3、能否有特殊的技巧将题设或结论变形，从而找到某种对应手段，把问题映射到其他领域中去解决，然后反演到原来的系统中得出结论。
第八章 逐次渐进方法
逐次渐进方法的分类：一类是对数学问题解法的逐次渐进方法，另一类是对数学问题本身的逐次渐进方法
逐次渐进方法的作用：在数学中既有利于解决具体数学问题（技巧性），又可以在数学理论发展中起重要作用（思想性）
逐次渐进方法的应用（P209）
分析法：把研究对象分解各个组成部分、各个不同的因素、各个不同的层次，然后分别地加以研究探索，从而深刻地认识和理解事物的一种方法。
综合法：把研究对象的各个部分、方面、因素都联系起来加以研究考虑，从而在整体上认识
和掌握事物的本质和规律的一种思维方法。
联合使用分析法、综合法的优势：目的性更明确、整体性更充分 数学的形式化方式的意义：
1、数学的形式都是由特定的符号来表现的
2、数学的形式化符号语言是数学思维的表现形式
3、数学教育应当重视形式化
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