2015年高考模拟测试题
理科数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的;每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.)
1、若i为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1面内
z点Z表示复数z，则复数的共轭复数是 1?2i
3
A．?i B. ?i D．i 52、能够把圆O:x2?y2?16的周长和面积同时分为相等的两 部分的函数称为圆O的“和谐函数”,下列函数不是圆O ．．
A．f(x)?4x3?xB．f(x)?ex?e?x C．f(x)?tanx5?x D． f(x)?1n 25?x
1axf(x)??e(a?0,b?0)的图象在x?0处的切线与圆x2?y2?1相切,则3、若函数b
a
?b的最大值是
A. 4 B.
C. 2D.
4、设集合A??(x,y)x?y?2?，B?(x,y)?Ay?x2，从集合A中随机地取出一个?元素P(x,y)，则P(x,y)?B的概率是
1175A．C． D．12246
?5、在?ABC中，?CAB??CBA?30，AC,BC边上的高分别为BD,AE，则以A,B为焦点，且过D,E两点的椭圆和双曲线的离
率的乘积为
A. 1 B.
C. 2D.
6、根据如图所示程序框图，若输入m?2146，n?1813，
则输出m的值为
A. 34 B. 37 C. 148 D.333
7、下列命题，正确的个数是
5
?①直线x?是函数y?sin2x?2x的一条对称轴 3
3?②将函数y?cos(x?)的图像上的每个点的横坐标缩短为原2
第5
题心来
1??的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度变为函数y?sin(2x?)的图像． 244
③设随机变量?～N(3,9)，若P(??a)?0.3，
(a?3)，则P(??6?a)?0.7
1④ ?)10的二项展开式中含有x?1项的二项式系数是210. x
A. 1 B. 2C. 3 D. 4
8、如图，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1 上任
意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是 A. 点P到平面QEF的距离B. 三棱锥P?QEF的体积 C. 直线PQ与平面PEF所成的角 D.二面角P?EF?Q的大小A1
?x?3y?1?0?9、已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组?
x?y?3?0,?x?1?0?则tan?AOB 349 A． ． D． 第8题图 474
10、已知函数f(x)?g(x
)?cos?x在区间[0,2]上的图像交于A,B
两点，则
?OAB的面积是
y2
211、已知双曲线x??1的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的离心率为e，若双曲线3??????????sin?PF2F1上一点P使且PQ?3QF1，则F2Q?F2F
1的?e，Q点为直线PF1上的一点，sin?PF1F2
值为
255A．
． D． 22
312、设等差数列?an的前n项和为Sn，已知?a7?1??2012(a7?1)?1，
?a2006?1?3?2012(a2006?1)??1，则下列结论正确的是
A．S2012??2012，a2012?a7 B．S2012?2012，a2012?a7
C．S2012??2012，a2012?a7 D．S2012?2012，a2012?a7
第Ⅱ卷
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
????????????????3ABCAB?AC?0AB?2AC?313、在△ABC中，，且△的面积为，则?BAC=_______ ，，2
14、采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到
9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下
雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________
15、某几何体的三视图如图所示，则此几何体的对应直观图中?面积为__________. 16、若对于定义在R上的函数f(x) ,其图象是连续不断的，且
存在常数?(??R)使得f(x??)??f(x)?0对任意实数x都成立，则称f(x) 是一个“?—伴随函数”. 有下列关于 “?—伴随函数”的结论：①f(x)?0“?—伴随函数”；②f(x)?x不是“?—伴随函数”； 1数”至③f(x)?x2是一个“?—伴随函数”；④“ —伴随函2少有一个零点. 其中不正确的序号是_________（填上所有第15
题图俯视图
．．．
不正确的结论序号）． ．．．
三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4?3S2?2，a2n?2an，
（1）求等差数列{an}的通项公式an.
2n?1*n （2）令bn?，数列的前项和为.证明：对任意，都有 {b}Tn?Nnn22(n?1)an
31?Tn?. 164
18. （本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB?BC，AB?2CD?2BC，EA?EB． （1）求证：AB?DE；
（2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（3）线段EA上是否存在点F，使EC// 平面FBDEF出；若不存在，说明理由． EA
19.（本小题满分12分）某校对参加高校自主招生测试C第18题图 行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩的
频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为2人。
（1）求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；
（2）学校从成绩在[70，100]的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试，若成
1绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生实力相当，且能通过复试的概率均为，设成绩2
在[80，90）这一小组中被抽中的学生中能通过复试的人数为?，求?的分布列和数学期望.
x2y2120.（本小题满分12分）已知椭圆C:2?2?1的离心率为，椭圆C的右焦点F和抛ab2
2物线G:y?4x的焦点相同.
（1）求椭圆C的方程.
（2）如图，已知直线l:y?kx?2与椭圆C及抛物线G都有两个不同的公共点，且直线l与椭圆C交于A,B两点；过焦点F的直线l?与抛物线G交于C,D两点，记??????????????????OA?OB?OC?OD，求?的取值范围.
21.（本小题满分12分）已知函数f(x)?xlnx.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
1数k的取值范围； （2）对于任意正实数x，不等式f(x)?kx?恒成立，求实2
（3）是否存在最小的正常数m，使得：当a?m时，对于任意正实数x，不等式f(a?x)?f(a)?ex恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.
四、选答题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.）
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是?O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，
F为BA延长线上一点，且BD?BE?BA?BF，求证：
（1）EF?FB；
（2）?DFB??DBC?90?．
第22题图 23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
?x?sin??cos?在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为?(?为参数)，若以该直
?y?sin2?
角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方
程为：?sin(???)?（其中t为常数）. 4（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；
（2）当t??2时，求曲线M上的点与曲线N上点的最小距离.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数f(x)?|3x?1|?ax?3.
（1）若a=1，解不等式f(x)?5；
（2）若函数f(x)有最小值，求实数a的取值范围.
海南省2015年高考模拟测试题
数学理科卷参考答案
13、150? 14、0.25 15、716、 ① ③ 三、解答题 17、解：（1）.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由S4?3S2?2，a2n?2an得
?4a1?6d?3(2a1?d)?2?a1?2
，解得?，所以an?2n,n?N* ???.6分 ?
?d?2?a1?(2n?1)d?2[a1?(n?1)d]
2n?1111
（2）.因为an?2n,n?N*，所以bn??[?]，则
(n?1)24n24n2(n?1)2
1111111111
=Tn?[1?2?2?2?2?2???2?][1?]. 22
422334n(n?1)4(n?1)
31*
因为n?1,n?N，所以?Tn?. ???.12分
164
18、证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结EO，DO．因为EB?EA，所以EO?AB．因为四边形ABCD为直角梯形，AB?2CD?2BC，AB?BC，
所以四边形
OBCD为正方形，所以AB?OD．
所以AB?平面EOD． 所以 AB?ED．??4分 解：（Ⅱ）因为平面ABE?平面ABCD，且 EO?AB，
所以EO?平面ABCD，所以EO?OD． 由OB,OD
,OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz．因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA?OB?OD?OE，设OB?1，所以
O(0,0,0),A(?1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),
D(0,1,0),E(0,0,1)． 所以 EC?(1,1,?1)，平面ABE的
????
一个法向量为OD?(0,1,0)． 设直线EC与平面ABE所成的角为?，所以
????????
????????|EC?OD|?， 即直线EC与平面ABE．?8sin??|cos?EC,OD?|?|EC||OD|
分
11EF1
?时，有EC// 平面FBD． 证明如下：由 EF??(?,0,?)，EA333
1242F(?,0,)，所以FB?(,0,?)．
3333
??????a?b?0,??v?BD?0,?
设平面FBD的法向量为v?(a,b,c)，则有????所以 ?4 取a?1，得?2
a?z?0.???v?FB?0.3?3
（Ⅲ）存在点F，且
因为 EC?v?(1,1,?1)?(1,1,2)?0，且EC?平面FBD，所以 EC// 平面FBD． 即v?(1,1,2)．
EF1
点F满足?时，有EC// 平面FBD．????12分
EA3
19、解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在区间[90，100]内的频率为0.005?10?0.05，所以
N?2?40,0.05 利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72.所以，估计这次考试的平均分是72分．由频率分布直方图可知，成绩分布在[70，80]间的频率最大，所以众数的估计值为区间[70，80]的中点值75分 ?????（6分）
（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）
（2）由（1）知，成绩在[70，100]内的学生共有40?(0.3?0.25?0.05)?24人，成绩在
[80，90）这一小组的人数有40?0.025?10人.所以从这一小组中抽出的人数为
121111?10?5人，依题意知??B(5,)，P(x?k)?C5k()k?()5?k?C5k()5， 242222
11510115215，P(??1)?C5，P(??2)?C5， P(??0)?C50()5?()?()?232232232
1051315415515，P(??4)?C5，P(??5)?C5， P(??3)?C5()?()?()?232232232
所以?的分布列为：
数学期望E??5??. ????..（12分） 22
c1220. 解：（1）椭圆的离心率?，抛物线y?4x的焦点为(1,0)，所以椭圆中的c?1，a?2，a2
x2y2
2?1. ??4分 b?3.所以椭圆的方程为?43
（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3),D(x4,y4)，则
?x2y2
?1??22由?4消去y可得(3?4k)x?16kx?4?0（①），由?1?(16k)2?4?4?(3?4k2)?03?y?kx?2?
11解得k??或k?； 22
?y2?4x22由?消去y可得kx?4(k?1)x?4?0，由?2?16(k?1)2?16k2?0
?y?kx?2
11解得k?，所以k??。 ???????6分 22
16k?x?x????123?4k2
由①可得，??x?x?4
12?3?4k2?
12?12k2
2y1?y2?(kx1?2)?(kx2?2)?kx1?x2?2k(x1?x2)?4?， 23?4k
????????16?12k2
所以OA?OB?x1x2?y1y2? ???????8分 3?4k2
?????????当l的斜率不存在时，C(1,2),D(1,?2)，此时， OC?OD??3
?y2?4x当l?的斜率存在时，设l?的方程为y?m(x?1)，(m?0)，由由?消去y可得
?y?m(x?1)
m2x2?(2m2?4)x?m2?0，所以x3?x4?
1，y3y4????4，所以????????OC?OD??3，???????10分
16?12k22511252则??， 因为，所以，所以.?12分 ?3?k??k?0???223?4k3?4k244
111?21. 解：⑴令f当x?(,??)时，f?(x)?0.()x?lnx?10?,得x?.当x?(0,)时，f?(x)?0；eee
11所以函数f(x)在(0,)上单调递减，在(,??)上单调递增. (3分) ee
111⑵由于x?0，所以fx，则令()?xxkln?k?lnx.构造函数k(x)?lnx?2x22x
112x?1111?，得x?.当x?(0,)时，当x?(,??)时，kx()22?0k?(x)?0；k?(x)?0.x2x2x222
111所以函数在点x?处取得最小值，即k. ()x??l?1?1?ln2min222
因此所求的k的取值范围是(??,1?ln2). (7分)
⑶结论：这样的最小正常数m存在. 解释如下：
(a?x)ln(a?x)alnaf(a?x)?f(a)?ex?(a?x)ln(a?x)?alna?ex??a. a?xee
xlnx构造函数g(x)?，则问题就是要求g(a?x)?g(a)恒成立. (9分) ex
(lnx?1)ex?xlnx?exlnx?1?xlnx对于g(x)求导得 g?(x)?. ?2xxee
1令h(x)?lnx?1?xlnx，则h?(x)??lnx?1，显然h?(x)是减函数. x
又h?(1)?0，所以函数h(x)?lnx?1?xlnx在(0,1)上是增函数，在(1,??)上是减函数，而
111122?e2
h(2)?ln2?1?2?ln2??2?1?2?2?0， eeeeee
h(1)?ln1?1?ln1?1?0，h(e)?lne?1?elne?1?1?e?2?e?0.
所以函数h(x)?lnx?1?xlnx在区间(0,1)和(1,??)上各有一个零点，令为x1和x2(x1?x2)，并且有: 在区间(0,x1)和(x2,??)上，h(x)?0,即g?(x)?0；在区间(x1,x2)上，h(x)?0,即
在区间(x1,x2)上单调递增. g?(x)?0. 从而可知函数g(x)在区间(0,x1)和(x2,??)上单调递减，
g(1)?0，当0?x?1时，g(x)?0；当x?1时，g(x)?0. 还有g(x2)是函数的极大值，也是最大值.
题目要找的m?x2，理由是：
当a?x2时，对于任意非零正数x，a?x?a?x2，而g(x)在(x2,??)上单调递减，所以
g(a?x)?g(a)一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明m≤x2；
当0?a?x2时，取x?x2?a，显然x?0且g(a?x)?g(x2)?g(a)，题目所要求的不等式不恒成立，说明m不能比x2小.
综合可知，题目所要寻求的最小正常数m就是x2，即存在最小正常数m?x2，当a?m时，对于任意正实数x，不等式f(a?x)?f(a)e恒成立. (12分)
( 注意：对于x1和x2的存在性也可以如下处理：
令h(x)?lnx?1?xlnx?0，即lnx?x11. 作出基本函数y?lnx和y? 的图像，借助于x?1x?1
1它们的图像有两个交点很容易知道方程lnx?有两个正实数根x1和x2，且0?x1?1，x2?1x?1
（实际上x2?2.24），可知函数g(x)在区间(0,x1)和(x2,??)上单调递减，在区间(x1,x2)上单调递增.g(1)?0，当0?x?1时，g(x)?0；当x?1时，g(x)?0. 还有g(x2)是函数的极大值，也是最大值. ）
22. （Ⅰ）证明：连接AD，在?ADB和?EFB中，
BDBF又?DBA??EBF??ADB∽?BD?BE?BA?BF??BABE
?EFB，则?EFB??ADB?90? ?EF?FB ???5分 (Ⅱ)在?ADB中，?ADB??ADE?90? ， 又?EFB?90? ?E、F、A、D四点共圆； ??DFB??AEB ，又AB是⊙O的
直径，则?ACB?90?， ??DFB??DBC??AEB??DBC?90???10分
y?x2?1,x?2M23.解：对于曲线M,消去参数，得普通方程为,曲线
对于曲线N，化成直角坐标方程为x?y?
t，曲线N是一条直线. (2分
) B 是抛物线的一部分；
(1)若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N
过点
时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以?1?t?相切时仍然只有一个公共点，由t?x?x2?1，?1满足要求；
5. 综合可求得t的取值范围是：42得x?x?1?t?0,??1?4(1?t)?0，求得
t??
51?t?1或t??. （6分） 4
2(2)当t??2时，直线N: x?y?
?2，设M上点为(x0,x0?1)，则
123(x?)?0x?x0?
1?32， d??822
132当x0??，所以所求的最小距离为. (10分) 28
24.解：（Ⅰ）a?1时，f(x)?|3x?1|?x?3. 20
当x≥1
31时，f(x)≤5可化为3x?1?x?3≤5，解之得≤x≤； 343
当x?111时，f(x)≤5可化为?3x?1?x?3≤5，解之得?≤x?. 233
13{x|?≤x≤}.??????????????5分 综上可得，原不等式的解集为24
1?(3?a)x?2,(x≥)??3（Ⅱ）f(x)?|3x?1|?ax?3?? 1?(a?3)x?4.(x?)?3?
?3?a≥0,函数f(x)有最小值的充要条件为?即?3≤a≤3????????10分 a?3≤0,?
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