1.4 二项式定理
123451、计算C11 ?C11?C11?C11?C11
解析：可利用组合数的计算公式逐个计算，或注意到
65748392101,考虑运用二项式系数的性质。 C11?C11,C11?C11,C11?C11,C11?C11,C11?C11
101011231111?C11?C11?C11???C11)?(C11?C11)??211?1?1023
解：原式=(C11222
2、已知(??1
?
奇数项的二项式系数的和小于120求第一个展开式中的第三项， 解：(a?b)2n展开式中奇数项的二项式系数的和为22n?1,(?偶数项的二项式系数的和为2n?1。
依题意，有2n?1=22n?1,-120，
即(2n)2?2n?240?0
解得2n?16或2n??15（舍去），?n?4
2于是，第一个展开式中第三项为T3?C4()2()n的展开式中奇数项的二项式系数的和比(a?b)2n的展开式中1)n展开式中1
)?6
1??3、求?a?2?1?展开式中的常数项。 a??
解析：由于已知的式子不是二项式，且幂指数比较大，利用多项式的乘方展开比较麻烦，故我们考虑将已知的式子转化，然后利用二项式定理的有关知识求解。
??11???? 解：??a?2?1???1??a?2??可看作二项式，则其通项式为：aa??????101010
1??kTk?1?C10??a?2?（其中k?0,1,2?,9,10）。 a??
1?? 要求原式的常数项，则需要求?a?2?的展开式中的常数项。 a??
?Tr?1?Ckr?ak?r?a?2r?Ckr?ak?3r（其中r?0,1,2,?,k）。由题意，令k?3r?0，则k?3r，即k是3的倍数，所以k?0,3,6,9。
0?1。 当k?0时，C10kk
01 当k?3时，r?1,C10?C3?360。
62 当k?6时，r?2,C10?C6?3150。
93 当k?9时，r?3,C10?C9?840。
所以原式的展开式中的常数项是：
916293 C10?C3?C10?C6?C10?C9?4351。
0n?12n?3n?10n?14、设n为正整数，化简Cn4?Cn4???Cn4?Cn4。
0n?10n4不符合二项展开式的第一项Cna的形式，可以 解析：式子中的第一项Cn
考虑对式子中的每一项乘以4.又由于“1的任何次方都等于1”。可给每一项分别乘以1的若干c次方，两步进行完后可配凑成二项展开形式，逆用二项式定理进行化简。
解：
0n?11n?22n?3n?10nn?1Cn4?Cn4?Cn4???Cn4?Cn4?1
4
?C40nn?C41
nn?1?C42
nn?2???Cn?1
n4?Cn
n?15n2??4?1??。
44
5、已知(1?2??3?2)7?a0?a1??a2?2???a13?13?a14?14
（1）求a0?a1?a2???a14；（2）求a1?a2?a5???a13
解：（1）令??1，则a0?a1?a2???a14?27?128，? （2）令???1，则a1?a2?a5???a13?a14?67? ?-?得2(a1?a3???a13)?27?67??2790808
?a1?a3?a5???a13??139904
6、（1）求1.00355精确到0.001的近似值。
（2）求1.9975精确到0.001的近似值； 解：（1）1.00355=(1?0.0035)5?1?5?0.0035?1.0175?1.018
125（2）1.9975?(2??0.003)5?25?C5?0.003?24?C5?0.0032?23??C5?0.0035
?32?0.24?0.00072?31.760
7、(1)试求1995除以8的余数；
(2)求证32n?2-8n-9(n?N)能被64整除。
解：(1)1995=(8?249+3)
1010*1010。 ?其展开式中末项为3外，其余的各项均含有8这个因数，
?199105除以8的余数与3除以8的余数相同。
103=9=?8?1?展开式中 除末项为1外，其余的各项均有8的 因数 ， 1055
?3除以8的余数为1，即1995除以8的余数也为1.
(2) 101032n?2-8n-9
n?1 =?8?1?
0-8n-9 +Cn?18+…+cn?1-8n-9 1nn?12 =Cn?18 =cn?18
=cn?180n?11nn?1n?1+cn?18+…+cn?18+(n+1)?8+1-8n-9 +cn?18+…+cn?18.
21nn?12n?1 该式每一项都含有8这个因数，故能被64整除.
2??8、利用二项式定理证明：???3?2?? 证明：欲证???3?
而?
n?1
n?1
<
2
(n?n?1
N
*
,且n≥3).
3??2
<成立，只需证??n?12
??
n?1
>
n?1
成立即可。 2
?3???2?
n?1
1111012n?1
=(1?)n?1=cn?1+cn?1?+cn?1?()2+…+cn?1?()n?1
2222
=1+
n?111n?12
+cn?1?()2+…+()n?1>. 2222
?原不等式成立
9、求(??2y?z)5展开式中的?2y2z项的系数。
【解】?2y2z是从(??2y?z)5的五个因式中，取出两个因式中的?，再从其余的三个因式中，取出两个因式中的y，最后从剩下的一个因式中取z，则有2212222C5?C3?C1??2?(?2y)2?z?4C5C3?yz.??2y2z项的系数为4C52C32?120
10、求(3??
1
)4的展开式。
【解】方法一：
14
(3??)=
?
0C4(3)4(
1
?
1
1
)0?C4(3)3?(
1
?
2
)?C4(3)2(
23
)?C(3)(4?
1
?
)3
4
C4(3?)0(
?
)4?81?2?108??54?
12
?
?
1
?
2
方法二：(3?
1
?
)?
4
(3??1)4
?
?
2
?
1
?
2
(81?4?108?3?54?2?12??1)
?81?2?108??54?
121
??2
11、若(1?2?)2009?a0?a1????a2009?2009(??R),则（ ）
A.2 B.0 C.-1 D.-2 [解析】令??
aa1a2
的值为?2???2009
2222009
1a2009a2009aaa1a2
，可得a0?1?2=0，所以=?a0 ???????22009220092222222
再令??0，可得a0?1，因而【答案】C
aa1a2
=—1.故选C. ?2???20092009
222
12、（1）(
?
y
?
y
?
)6的展开式中，?3的系数等于______.
（2）(??1)4的展开式中?2的系数为（ )
A.4 B.6 C.10 D.20
(【解析】（1）
?
y
?
y
?
)的通项为Tr?1?C(
6
r
6
?
y
)
6?r
(?
y
)?C(?1)?
r
r6
r
36?r2
?y
3r?32
，
332
令6?r?3得r?2，r?3?0，故?3的系数为C6(?1)2?15
22
rr
(2)注意到(??1)4的展开式通项是Tr?1?C4??4?r?1r?C4??4?r，因此(??1)4得展
2
?6，故选B 开式中?2的系数是C4
【答案】B
13、若(??
1
?
)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）
A.10 B.20 C.30D.120 【解析】?(??
1
?
)n展开式的二项式系数之和为
r6?r1r
2n,?2n?64,?n?6.?Tr?1?C6?()?C6r?6?2r
?
3由6?2r?0得r?3,?其常数项为T3?1?C6?20,故选B
【答案】B
14、已知(1???2)n的展开式中的倒数第三项的系数为45.
求：（1）含有?3的项；（2）系数最大的项。
2n?2【解】已知展开式中倒数第三项的系数为45，则Cn?45，所以?45即Cnn2?n?90?0，解得n??9（不合题意）或n?10
（1）求(1???2)10展开式中含?3的项
?1
410?r23r10?r2r??43由通项Tr?1?C(?)(?)?C?得
10?r2r???3,?30?3r?8r?36,11r?66,?r?6 43
6故含有?3的项是第7项T7?C10?3?210?3 r10r10
(2)?(1???2)10的展开式共有11项，系数最大的项是16项。
?1
452352512?T6?C(?)?(?)?252?
15、（1）如图1-4-2所示，在有二项式系数构成的杨辉三角形中，第_______行中从左至右第14个数与第15个数的比为2:3
（2）(??1)14的展开式中系数最大的项是第_____项。 510
【解析】（1）设第n行中从左至右的第14个数与第15个
第0行 1
第1行1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 4 4 1
第5行1 5 10 10 5 1
… …
13Cn142数之比为2:3，即14??，解得n?34 Cnn?133
（2）由二项式系数的性质可知(??1)14的展开式中第8项的二项式系数最大，但
7该项的系数为?C14因此，(??1)14的展开式中系数最大的项是第7项和第9项，
故应填7、9
【答案】（1）34 （2）7、9
16、(1??)6(1?1
?)10
展开式中的常数项为（ ）
A. 1 B.46 C.4245 D.4246
【解析】(1??)的展开式有7项，通项为Tr?1?C(?)?C?(r?0,1,2,?,6)；
110
(1?)的展开式有11项，通项为
6
r6
r
r6
r3
Ts?1?C(
r6
r3
s10
1
s10
)?C?(s?0,1,2,?,10),?(1?3?)6(1?
?s4
s10
?
s4
1
通)10的展开式有77项，
项为C?C??CC?
r
6s10
4r?3s12
由4r?3s?0得
r?0 s?0
r
?
3r?6
或
r?6
s?8
s?4
003468
故常数项为C6C10?C6C10?C6?C10?1?4200?45?4246故选D.
【答案】D.
17、求(?3?
1
?3
1
?
3
?
3
?3?)3的展开式
3
?1?1【解】(?3?3??3?)3??(??)3??(??)9
?)?????1111818
?x9?C9x??C92x6?()3???C9x?()?9
xxxx?x9?9x7?36x5?84x3???
91
? x7x9
11)n的展开式中，第9项为常数项，求： 18、已知在(?2?2(1)n的值；
(2)含x的整数次幂的项的个数。
2n?k11k1k【解】已知二项展开式的通项Tk?1?Cn(?2)n?k?(?)?(?1)k()n?kCn?2. 22?k5
5(1) 因为第9项为常数项，即当k=8时，2n?k?0,解得n=10. 2
540?5k(2) 要使2n?k?为整数，只需K为偶数，由于K=0,1,2,3，…,9,10，故22
符号要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.
19、有二项式(3??210). 3?(1)求展开式第4项的二项式系数；
(2)求展开式第4项的系数。
(3)求第4项.
【解】(3?2102r)的展开式的通项是Tr?1C10(3)10?r?(?)r(r?0,1,…,10). 3?3?
r(1)展开式的第4项的二项式系数为C10?120.
23(2)展开第4项的系数为C10?37?(?)3??77760. 3
()7?(3)展开第4项的为：?777601??. 3?
20、 (1?x)2?(1?x)5的展开式中x3的系数是.【解析 】 变换→部分展开→确定系数，或利用双通项来求解。
解法一：(1?x)2?(1?x)5?(1?x2)2(1?x)3?(1?2x2?x4)?(1?3x?3x2?x3),?x3的系数为1?(?1)?(?2)?(?3)?5.
r解法二：?(1?x)的通项：Tr?1?C2?xr
k(1?x)5的通项：Tk?1?(?1)k?C5?xk rk?(1?x)2?(1?x)5的通项：(?1)k?C2?C5?xk?r(其中
r??0,1,2?,k??0,1,2,3,4,5?)。令k?r?3
k?1 ?2
或 k?3 r?2
故r?1 r?0 ?3的系数为?C5?C2?C5?C5?5.故填5 1123
【答案】5
21、化简下例各式： (1)1?2Cn?4Cn?…+2
2
2
n
C
nn
;
(2)(x?1)5?5(x?1)4?10(x?1)3?10(x?1)2?5(x?1). 【解】(1)原式
=Cn?1n?20?Cn?1n?1?2?Cn?1n?2?22?…+Cn2n?3n.
1
3
4
5
1
2
n
5325
??(x?1)?(x?1)?(x?1)?(x?1)???(x?1)?1?1?x?1.
C5C5C5C5C5C5
5
5
22、求证：CnCn?????Cn
1
n?1
Cn?C2n.
nn?2
[解析 ] 观察等式右边的组合数的特征，联想二项式定理可知它是(1?x)2n的展
开式中xn?1的系数，这样问题就转化为等式左边也应该是(1?x)2n的展开式中xn?1的系数，而等式左边每一项的个因子又都是(1?x)n展开式中各项的系数，所以想到要将(1?x)2n转化为(1?x)n(1?x)n再分别展开。 【解】(1?x)2n的展开式中xn?1的系数为C2n.
又(1?x)2n?(1?x)n(1?x)n?(Cn?Cnx?…Cnxn)?(CnCn?…+Cnxn),则等式右边整理后xn?1的系数为
1
n?1
n0n?2n
CC
n
0n?1n
?CnCn?…+Cn
1n?2n?1
Cn?CnCn?CnCn?…+Cn
n
n?1
00112n?1
C
nn
.
?两种形式下的展开式中xn?1的系数应该相等， ?CnCn?CnCn?…+Cn
1
1
2
n?1
Cn?C2n.
23、设(2?3x)100?a0?a1x?a2x2?…+a100x100，求下列各式的值.
(1)a0；
(2)a1?a2a3?a4+…a100；
(3)a1?a3?a5?…+a99;
(4)(a0?a2?…+a100)2-(a1?a3?…+a99)2; (5)a0?a1?…a100.
【解】（1）令x?0则展开式为a0?2100
（2）令x?1可得a0?a1?a2??a100?(2?3)100，? ?a1?a2???a100?(3?)100?2100
（3）令x??1可得a0?a1?a2?a3???a100?(2?3)100 (2?)100?(2?3)100
与?联立想减得a1?a3???a99? 2
（4）原式=?(a0?a2???a100)?(a1?a3???a99?
?(a0?a2???a100)?(a1?a3???a99???(2?)(2?)?100?1100?1 r（5）?Tr?1?(?1)rC1002100?r(3)rxr,?a2k?1?0(k?N*) ?a0?a1?a2???a100?a0?a1?a2?a3???a100?(2?)100
124、已知(1??)5?a0?a1(??1)?a2(??1)2?a3(??1)3???a7(??1)7，求4
a1?2a2?3a3???7a7
【解析】由于所求的和式中，a1,a2,a3,?,a7的系数分别为1,2,3，…，7，联想到导数公式(?n)'?n?n?1，可知对二项展开式右端求导，即可产生新的系数a1,2a23a3,?,7a7
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