高考数学专题复习讲座
高考数学复习讲义（一）
§1. 集合
定义记号：
A,B?????????集合 x,y?????????集合中的元素
§§1.1 集合的基本概念
问题：什么是集合？
集合的表示方法：
1． 列举、枚举法：列出集合所有的元素
2． Venn’s 图
3． 描述方法：○1大白话 ○2数学描述：给出集合中元素所满足的性质 集合所包含的元素：一般意义上的元素
一个集合为另一个集合的元素
集合元素的性质：1、确定性 2、互异性 3、无序性 集合与集合、集合与元素的关系：
1． 某集合中的元素属于此集合
2． 某集合包含于含有这个集合的中所有元素的集合——（真）子集合
3． 某集合属于含有这个集合的集合——集合的集合
记号：
定理1.1 若A?B，且B?A，则A?B
例子：
1．? 空集
注意：空集是任意集合的子集，但空集不是任意集合的元素，
即，对于任意的集合A，有??A；但??A，当且仅当?是A的元素； *?——属于?——包含于 ?——不包含于 ?——包含且不等于 ?——不属于
2．I 全集
1
3．a??a,b?：a属于?a,b?，a是?a,b?中的元素，
?a???a,b?：?a?包含于?a,b?，?a?是?a,b?的（真）子集，
?a????a?,b?：?a?属于??a?,b?，?a?是??a?,b?中的元素；
4．写出包含所有奇数的集合：
列举、枚举法：?1,3,5,??
大白话：所有不能被2整除的整数
数学语言：?x|x?2k?1,k?Z?
??
§§1.2 集合的运算
集合的交集：A?B??x|x?A且x?B? 集合的并集：A?B??x|x?A或x?B? 集合的补集：A?CIA??x|x?I且x?A? c
A
交集 并集 补集 定理1.2 设A,B,C为3个集合，则
（1）C?(A?B)?(C?A)?(C?B)
（2）C?(A?B)?(C?A)?(C?B)
（3）De Morgan法则
(A?B)c?Ac?Bc (A?B)c?Ac?Bc
证明注意：由定理1.1，证明此定理即证每个等式左边的集合包含于右边的集合，同
时等式右边的集合包含于左边的集合。
例子：
1．A??1,2,3,4,5? B??1,3,5,7,9?
A?B??1,3,5? A?B??1,2,3,4,5,7,9?
2．记号：N——自然数 R——实数 Q——有理数 Z——整数
R?——正实数 R?——负实数
Z??N?Z?R R??R Z??Q??R? CRR??R??R???0? c
2
3．A??x|3?x?5? B??x|2?x?4?
§§1.3 R上集合的区间表示方法
定义：
开区间 ?a,b???x|a?x?b?
闭区间 ?a,b???x|a?x?b?
左开右闭区间 ?a,b???x|a?x?b?
左闭右开区间 ?a,b???x|a?x?b?
例子
1．A??x|1?x?3???1,3?则：A?B??x|3?x?4? A?B??x|2?x?5? CRA??x|x?3或x?5? B??x|1?x?3???1,3?
C??x|1?x?3???1,3?D??x|1?x?3???1,3?
2．A??x|x?3?????,3?B??x|x?3?????,3?
C??x|x?3???3,???D??x|x?3???3,???
区间的运算：
A??1,3? B??2,4?
区间的交： A?B??2,3?
区间的并： A?B??1,4?
区间的补： Ac?CRA????,1???3,???，Bc?CRB????,2???4,???
专题1：函数与方程
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式y = f (x)，那么这个解析表达式可以看成是一个方程，一个二元方程，两个变量间存在着对应关系，如果这个对应关系是函数的话，那么这个方程可以看成是一个函数；一个一元方程，它的两端可以分别看作函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。
因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；反之，许多有关函数的问题也可用方程的方法去解决。
函数思想，即先构造函数，把给定问题转化对辅助函数的性质研究，得出所需的结论。 3
方程思想，就是把对数学问题的认识，归纳为对方程和方程组的认识。
对于函数思想，应深刻理解一般函数y=f(x)、y?f?1(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图像变换）。熟练掌握基本初等函数的性质，是应用函数思想解题的基础。
函数方程思想常同数形结合、等价转化思想相互融合后才能充分发挥其具体解题的功效。
【例题解析】
【例1】 （1）已知集合A={x|x2－ax+a2－19=0}，集合B={x|log2(x2－5x+8)=1}，集合C={x|mx2?2x?8=1,m≠0，|m|≠1}满足A∩B??，A∩C=?，求实数a的值；
(2)已知集合P={x|x2－5x+4≤0},Q={x|x2－2bx+b+2≤0}满足P?Q，求实数b的取值范围。
解 （1）由条件即可得B={2，3}，C={－4，2}，由A∩B??，A∩C=?，可知3∈A，2?A。
将x=3代入集合A的条件得：
a2－3a－10=0
∴a=－2或a=5
当a=－2时，A={x|x2+2x－15=0}={－5,3},符合已知条件。
当a=5时,A={x|x2－5x+6=0}={2，3}，不符合条件“A∩C”=?，故舍去。
综上得：a=－2。
（2）显然P={x|1≤x≤4}，记f(x)=x2－2bx+b+2
若Q为空集，则由Δ<0得：
4b2－4(b+2)<0 ∴－1<b<2。
若Q不是空集，则应满足
Δ?0??b2?b?2?0?f(1)?0?????b?3?0 ?f(4)?0 即??7b?18?0??2b?1??1?b?4?4??2?
解之得：2≤b≤18 7
18 7综上得：－1<b≤
注 对于稍复杂的某些集合题目，一定要全面考虑并仔细审题，防止解的取值扩大或缩 4
小。本题的第（1）题，在“由3∈A求得a=－2或5”后，应清楚3∈A是其必要条件，但不是充分条件，因此必须进行检验，否则解的取值可能扩大。而第（2）小题，应该分两类（Q??，Q??）讨论，千万不能遗忘Q??这一特殊情形。
【例2】 已知A、B是?ABC的两个内角，且tgA、tgB是方程 x2?mx?m?1?0的两个实根，求实数m的取值范围。
分析，依题意知tgA + tgB =－m tgA ·tgB = m + 1
tgA?tgB?m??11?tgAtgB1?m?1π?0?A?B?π,?A?B? 4
ππ?0?A?,0?B?44
故tgA??0,1?,tgB??0,1?tg?A?B??
∴ 方程x2?mx?m?1?0的两个实根均在(0, 1)内，下面将方程转化为函数，求m的取值范围。
2令f?x?= x?mx?m?1，函数f?x?与x轴有两个交点，且交点在(0, 1)内， 又函数f?x?的对称轴方程为x??
??m??m2f??0??m?1?0????2??4??????f?0??0??m?1?0 ?f?1??0?2m?2?0??????
解得?1?m?2?22m 2
【例3】 设P?x?a,y1?、Q?x,y2?、R?2?a,y3?是函数f?x??2x?a的反函数图象上不同的三点，若使y1、y2、y3成等差数列的实数x有且仅有一个，求实数a的取值范围。 分析：函数f?x??2x?a的反函数为
?x??log2?x?a??x?a?
?y1?log2??x?a??a??log2x
y2?log2?x?a?,y3?log2??2?a??a??1f?1
5
?y1,y2,y3成等差数列
?1?log2x?2log2?x?a?
故问题转化为方程1?log2x?2log2?x?a?只有一个实根时，求a的取值范围。 方程1?log2x?2log2?x?a?等价于
?x?0???x?a x?a???22???x?2a?2x?a?0??2??2x?x?a?
11（1）当??4?a?1?2?4a2?4?2a?1??0，即a??时，x?，满足x > a， 22
∴a??
1满足条件。 21（2）当??4?a?1?2?4a2?4?2a?1??0，即a??时，x?a?1?2a?1 2∵ x1?a?1?2a?1?a，即x1?a?1?2a?1满足条件，故
x2?a?1?2a?1?a。
【例4】 已知函数f(x)的定义域为R，且对于一切实数x满足
f(x+2)=f(2－x),f(x+7)=f(7－x)
（1）若f(5)=9,求：f(－5);
（2）已知x∈ [2,7]时，f(x)=(x－2)2，求当x∈[16,20]时，函数g(x)=2x－f(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值；
（3）若f(x)=0的一根是0，记f(x)=0在区间[－1000,1000]上的根数为N，求N的最小值。
解：（1）由f(x+2)=f(2－x)及f(x+7)=f(7－x)得:f(x)的图像关于直线x=2,x=7对称。 ∴ f(x)=f[(x－2)+2]
=f[2－(x－2)]=f(4－x)
6 由a?1?2a?1?a，解得a又当a = 0时，P、Q、R三点重合，故a?0 ∴ 当a > 0或a??1时，方程只有一个实根， 21。 2∴所求a的范围是a > 0或a??
=f[7－(3+x)]=f(7+(3+x))
=f(x+10)
∴f(x)是以10为周期的周期函数。
∴f(－5)=f(－5+10)=f(5)=9
（2）当x∈[16,17],x－10∈[6,7]
∴f(x)=f(x－10)=(x－10－2)2=(x－12)2
当x∈(17,20],x－20∈(－3,0],4－(x－20)∈[4,7)
∴f(x)=f(x－20)=f[4－(x－20)]
=f(24－x)=(x－22)2
2?x?[16,17]?2x?(x?12)∴g(x)= ? 2x?(17,20]??2x?(x?22)
∵x∈ [16,17]时，g(x)最大值为16，最小值为9；x∈（17，20]，g(x)>g(17)=9,g(x)≤g(20)=36 ∴g(x)的最大值为36，最小值为9。
（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在[0,10)上至少有两个解。
而在[－1000，1000)上有200个周期，至少有400个解。又f(1000)=0
所以最少有401个解。且这401个解的和为－200。
注 题中（2）可根据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到
2?x?[16,17]?(x?12)f(x)= ?2x?(17,20]??(x?22)
一般地：当x∈[－3，2]时，4－x∈[2,7]
∴f(x)=f(4－x)=(x－2)2
∴当x∈[－3,7],f(x)=(x－2)2
故当x∈[－3+10k,7+10k],x－10k∈[－3,7]
∴f(x)= (x－10k－2)2(k∈z)
∴f(x)= (x－10k－2)2 x∈[－3+10k,7+10k],（k∈Z）
【例5】 设a是正数，ax+y=2(x≥0,y≥0)，记y+3x－
（1）M(a)的表达式；（2）M(a)的最小值。
7 12x的最大值是M(a)，试求： 2
解：将代数式y+3x－12x表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x2
的二次函数，逐步进行分类求M(a)。
（1）设S(x)=y+3x－
S(x)=2－ax+3x－
=－
=－12x,将y=2－ax代入消去y，得： 212x 212x+(3－a)x+2 211[x－(3－a)]2+(3－a)2+2(x≥0) 22
∵y≥0 ∴2－ax≥0
而a>0 ∴0≤x≤2 a
下面分三种情况求M(a)
(i)当0<3－a<2(a>0)，即 a
?0?a?3?时 ?2??a?3a?2?0
解得 0<a<1或2<a<3时
M(a)=S(3－a)= 1(3－a)2+2 2
(ii)当3－a≥?a?02?(a>0)，即?2时， a??a?3a?2?0
解得：1≤a≤2，这时
M(a)=S(
=－22212)=2－a·+3·－·()2 aaa2a2
a2+6 a
(iii)当3－a≤0；即a≥3时
M(a)=S(0)=2
综上所述得：
?12(0?a?1)?2(3?a)?2
???2?6 (1?a?2)?M（a）=?a2a
?1( 2?a?3)?(3?a)2?2 ?2
?(a?3)?2
8
（2）下面分情况探讨M(a)的最小值。
当0<a<1或2<a<3时
M(a)=1(3－a) 2+2>2 2
当1≤a≤2时
M(a)=－2
a2+6139=－2(－)2+ aa22
11≤≤1 2a∵1≤a≤2?
∴当11=时，M(a)取小值，即 a2
5 2M(a)≥M（2）=
当a≥3时，M(a)=2
经过比较上述各类中M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。
注：解题经验的积累，有利于解题思路的挖掘，对参数a的分类，完全依据二次函数顶点的横坐标3－a是否在定义域区间[0，
【例6】 设函数f(x)定义域为R，当x>0时，f(x)>1，且对任意x,y∈R，有 f(x+y)=f(x)·f(y)。
（1）证明：f(0)=1;
（2）证明：f(x)在R上是增函数；
（3）设集合A={(x,y)|f(x2)·f(y2)<f(1)}，B={(x,y)|f(x+y+c)=1,c∈R}，若A∩B=?，求c的取值范围。
解：（1）证明：为使f(x+y)=f(x)·f(y)中出现f(0)，借助当x>0时，f(x)>1。则设x=0,y=1得：
f(0+1)=f(0)·f(1)，即f(1)=f(0)·f(1)
∵f(1)>1 ∴f(0)=1
（2）证明f(x)在R上是增函数，即证明当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)。
∵对x1,x2∈R,x1<x2,，有x2－x1>0
∴f(x2)=f(x1+x2－x1)=f(x1)·f(x2－x1)
中有f(x2－x1)>1
故要证明f(x2)>f(x1)，只要证明f(x1)>0即可。
9 2]内，这样就引出三种状态，找出解题的方案。 a
事实上，当x1>0时，f(x1)>1>0
当x1=0时，f(x1)=1>0
当x1<0时，f(x1)·f(－x1)=f(x1－x1)=f(0)=1
又∵f(－x1)>1 ∴0<f(x1)<1
故对于一切x1∈R，有f(x1)>0
∴f(x2)=f(x1)·f(x2－x1)>f(x1)，故命题得证。
（3）解 A：f(x2+y2)<f(1)，则由单调性知x2+y2<1。
B：由f(x+y+c)=f(0)=1和函数单调性知
x+y+c=0
故若A∩B=?，用图形分析可得：只要圆x2+y2=1与直线x+y+c=0相离或相切即可。 c
2故≥1 ∴c≥2或c≤?2
注 第（2）题也可作如下处理：
f(x)·f(－x)=f(0)=1>0，得f(－x)=
且1，证得f(x)>0恒成立。 f(x)f(x2)=f(x2)·f(－x1)=f(x2－x1)>1 f(x1)
∴f(x2)>f(x1)
【例7】 已知 a > b > c，且a + b + c = 0，证明：方程ax2?2bx?c?0的两实根x1、x2总有3?|x1?x2|?23。
分析：根据方程中的已知条件，这就要将欲证的|x1－x2|中用已知a、b、c的关系来表示，即求|x1－x2|的函数解析表达式，然后利用函数的有关性加以解决。
∵ x1、x2是方程ax?bx?c?0的两个实根， 2
10
?x1?x2??2bc,x1x2?aa
由a?b?c?0及
|x1?x2|??x1?x2?22 4c?2b??4x1x2????? aa??
a22?4b2?4ac
a2?4??a?c?2?4ac
??c?2c??4?????1?a????a??
于是转化为关于c的二次函数 a
??c?2c??c?f???4?????1?的值域为(3, 12) a??a????a??
c1?c?∵ f??的对称轴方程为?? a2?a?
由a?b?c，a?b?c?0知a?0，c?0
由b??a?c，得a??a?c?c
当a??a?c时，得c??2a c1??a2 c1c1?c???2???,又当??时，f??是减函数a2a2?a?当?a?c?c时，得
?f??2??4??2?2???2??1?12??
??1?21??1?f????4??????1??32??2????2??
?c??3?f???12，即?|x1?x2|?2?a?
【例8】 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R)。
（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A、B；
（2）求线段AB在x轴上的投影A1B1的长度的取值范围。
??y?ax2?bx?c解：（1）证：由?消去y，得ax2+2bx+c=0 ??y??bx
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+
∵a>b>c ∴a?c，c不同时为0 2c232)+c] 24
11
∴Δ>0，即两函数的图像交于不同的两点。
（2）设方程ax2+2bx+c=0的两根为x1和x2，则 x1+x2=－c2b,x1x2= aa
|A1B1|2=( x1－x2)2=( x1+x2)2－4x1x2
2b24c4b2?4ac =(－)－= aaa2
=4(?a?c)2?4ac
a2=4[(c2c)++1] aa
=4[(c123+)+] a24
∵a>b>c，a+b+c=0，a>0,c<0,
∴?
∵f(c?2a?c?01，解得∈(－2, －) 2a?a?2c?0cccc1)=4[()2++1]的对称轴是=－ aaaa2
c1c∈（－2,－）时，f()为减函数 a2a∴当
∴|A1B1|2∈ (3,12)，故|A1B1|∈(3,2)
【例9】 已知实数a、b、c满足
f?x??ax2?bx?c?a?0?。 abc???0，其中m为正数，若 m?2m?1m
?m?（1）证明af???0； m?1??（2）证明方程f?x??0在?0,1?内有解。
??m?2?bm?m?分析：（1）∵ af??c? ??a?a???m?1m?1?m?1???????
由abc???0，解出c， m?2m?1mmamb?，代入上式，得 m?2m?1c??
??m?2ma??m?af????a?a???m?1m?2?m?1???????
?1?1?a2m2???22m?2mm?1????
12
??m?1?2?m2?2m,?1
m?12
?1m2?2m?0 又?m?0,a?0,?a2m2?0 ?m??af???0?m?1?
（2）为证明方程f?x?= 0在(0, 1)内有解，即可证明
?af?0??0?af?1??0??f?1??0或?f?0· ???0??0??b?1?2a?
但是上述二者都不容易证明。 注意0?m，以此为突破口， ?1（∵ m是正数）m?1
?m?若a > 0，由（1）知f???0，于是只需证明f (0)和f (1)中有一个大于零即可。 ?m?1?f?0??c,f?1??a?b?c 若c?0,有f?0??0，故已得证；若c?0，则只需证f?1??a?b?c?0由已知条件式可求得
a?m?1?c?m?1??m?2m
a?m?1?c?m?1??f?1??a???cm?2m a?m?2??acm?c?a???cm?2m
ac??m?2mb??
?a?0,m?0,c?0,?ac??0m?2m
?f?1??0，命题得证
?当a?0时，方程f?x??0在?0,1?内有解
当a?0时，同理可证f?x??0在?0,1?内有解。
【例10】 (97全国)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),已知二次方程f(x)－x=0的两个根x1与x2满足0<x1<x2<1。 a
（1）证明：当u∈(0,x1)时，u<f(u)<x1;
（2）若f(x0－x)=f(x0+x)，证明：2x0<x1。
证法一：（1）令F(x)=f(x)－x，因为x1,x2是方程f(x)－x=0的根，所以可设
13
F(x)=a(x－x1)(x－x2)
当u∈（0，x1）时，∵ x1<x2,∴得
(u－x1)(u－x2)>0，又∵a>0，得
F(u)=a(u－x1)(u－x2)>0，即u<f(u)
x1－f(u)=x1－(u+F(u))
=(x1－u)[1+a(u－x2)]
∵0<u<x1<x2<1 a
所以x1－u>0,1+a(u－x2)=1+au－ax2>1－ax2>0，得x1－f(u)>0。 ∴f(u)<x1 故当u∈（0，x1）时，u<f(u)<x1
（2）依题意得x0=－b 2a
∵x1,x2是方程f(x)－x=0的两根，即x1,x2是方程
ax2+(b－1)x+c=0的根，
所以x1+x2=－
x0=－b?1 aba(x1?x2)?1ax1?ax2?1== 2a2a2a
∵ax2<1, ∴x0<ax1x1=，即2x0<x1。 2a2
证法二：（1）∵方程f(x)－x=0的两根为x1,x2∴f(x)－x=a(x－x1)(x－x2) 故欲证u<f(u)<x1?0<f(u)－u<x1－u?0<a(u－x1)(u－x2)<x1－u?0<a(x2－u)<1。 （∵u∈(0,x1),∴x1－u>0）?0<x2－u<
又∵0<u<x2<1(∵a>0) a11, ∴0<x2－u<成立。 aa
故u<f(u)<x1成立。
（2）由于方程x1,x2是方程f(x)－x=0的根，也即ax2+(b－1)x+c=0的两根。 ∴x1+x2=－b?1=－b+1 aaa
1又∵0<x2<1,∴x1+>x1+x2=－b+1aaaa
∴x1>－b
a
又∵x0=－ bx1<，故2x0<x1。 2a2
注 解决本题的关键是熟练掌握抛物线方程的基本形式：y=a(x－x1)(x－x2)。另外，要 14
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