衡阳市八中2017届高三第三次月考试题
理科数学
时量：120分钟满分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若复数z满足iz=2,其中i为虚数单位,则z的虚部为 （A）
A. -2B. 2C. -2iD. 2i
2．“?
=?
6”是“tan??”（ B）条件。 A.必要不充分 B.充分不必要C.充分必要 D. 既不充分也不必要
3.下列函数中,在区间(1,+￥)上为增函数的是(B )
A．y=-2x+1 B．y=
C． x 1-xy=log1(x-1)D．y=-(x-1)2 2
4．已知正项数列{an}中，a1=1,a2=2,2an=an+1+an-1(n?2),则a6等于( D) 222
A．16B．8 C
．．4
???????p5.若向量a,b的夹角为，且a=2,b=1,则a与a+2b的夹角为（ A） 3
pp2p5pA.B.C.D.3663
6．函数y?f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式
f(x)?f(?x)?2x的解集为
A．?x|? （ A）?
??22?x?0或?x?1?22?
??22或?x?1? B．?x|?1?x??22??
C．?x|?1?x???
?22?或0?x??22? ??22?x?且x?0? D. ?x|?22??
7. 在函数y=sinx、y=sin（x+2p2pxx)、y=cos（2x+)、y=sin2-cos2中，最小3322正周期为p的函数的个数为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
8.设函数f(x)=1x12n-1+log2,定义Sn=f()+f()+?+f(),其中n?N，n32,21-xnnn
则Sn等于（ C ） n(n-1)n-1-log2(n-1) B. 22
n-1n-1+log2(n-1) C. D. 22A.
9.已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB^BC.若点P的坐标为（2，0），则 ????????????PA+PB+PC的最大值为（ B ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10.已知函数f(x)=Asiwn(+xj的最小正周期为p，当)A(wj,均为正的常数）,
x=2p时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是（ A ） 3
A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2)
C. f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2)
211.已知函数f(x)=aln(x+1)-x在区间（0，1）内任取两个实数p,q,且p1q，不等式
f(p+1)-f(q+1)>2恒成立，则实数a的取值范围为（ C ） p-q
A. (12,30] B.(-?,18]
C. [18,+?) D.(-12,18]
12．已知f(x)=a+x-xlna(a>0且a?1).若函数y=f(x)-t-1有三个零点，则t的值为（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．±2
x2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
13.已知sinx?2cosx?0，则sinx?1?_____29___________. 5
14．《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，
大鼠日一尺，小树也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？题意是：”有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞之和，则Sn=______2n-
1+1________尺. 2n-1
15．已知函数f(x)?cosx,x?(?
2,3?),若方程f(x)?m有三个不同的实根,且从小到大依次
成等比数列,则m的值为___?1__________ . 2
16.已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x,y?R,都有
f(xgy)=xf(y)+yf(x)成立。数列{an}满足an=f(3n)(n?N+),且a1=3,则数列的通
3______. 项公式为an=___ngn
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.）
17. （本小题满分10分）已知函数f(x)=kg（0，a-x(k,a为常数,a>0且a?1)的图像过点A
1），B（3，8）.
(1)求实数k,a的值；
（2）若函数g(x)=f(x)-1,试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由. f(x)+1
-x解：（1）把A（0，1），B（3，8）的坐标代入f(x)=kga
（2）g(x)是奇函数。理由如下： 得{k?a0=1k?a-3=8 解得：k=1,a=1。 2
f(x)-12x-1由（1）知：f(x)=2，所以g(x)==. f(x)+12x+1x
函数g(x)的定义域为R， f(-x)-12-x-12x-1又g(-x)===-x=-g(x). f(-x)+12-x+12+1
所以函数g(x)是奇函数。
18．（本小题满分12分）已知A,B,C三点的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos?,sin?)，其
?????????3?
中??(,)．（1）若AC?BC，求角?的值；
22?????????
（2）若AC?BC??1，求tan(??)的值．
4
????????
∵AC?(cos??3,sin?)，BC?(cos?,sin??3)，
????
????∴|AC|BC|
????????
由|AC|?|BC|得sin??cos?．
?????????????4分
?3?5
又??(,)，∴???． ?????????????6分
422
????????
（2）由AC?BC??1，得(cos??3)cos??sin?(sin??3)??1，
∴sin??cos??
又由
?2
?0． ，∴sin(??)?
43
???????????9分
?
2
???
?3?3??
，∴． ????
?，∴cos(??)?4244
?
?
故tan(?
?)?．
47
19．（本小题满分12分）已知数列{an}中，a1=2,a2=3，且an+1=2an+3an-1(n?2) （1）设bn?an?1?an，证明{bn}是等比数列。 (2)求数列{an}的通项公式。 解答：（1）an=?3
5
4
n-1
3
?(1)n-1 4
20．（本小题满分12分）如图1，有一建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一基线AB，设其长度为d，在A点处测得P点的仰角为?，在B点处测得P点的仰角为?。 (1)若AB＝40,
图1
?＝30?,?＝45?,且?AOB＝30?，
求建筑物的高度h；
(2)经分析若干测得的数据后，发现将基线AB调整到 线段AO上(如图２),
?与?之差尽量大时，可以
P
提高测量精确度，设调整后AB的距离为d， tan?＝
4
，建筑物的实际高度为21，试问d为何值时，
d
图2
?－?最大？
解：(1)在Rt?POA中，
，在Rt?POB中，OB＝h，
在Rt?AOB中，d+h-2
?
故建筑物的高度为40. 2
22?hcos30?，其中：d＝40，得：h=40，
4h，tan?= dhdd?4
44h?16d16dd(h?4)∴tan(?-?)==2=
16h16hd(h?4)?16h1?2d(h?4)?d(h?4)d
?
(2) ∵tan?=
当且仅当d(h+4)=
故当
d=16h即
d=时“=”成立 d5时，tan(?-?)最大， 5
??∵0<?<?<，∴0<?-?<， 22
当
时，?-?最大
21．（本小题满分12分）已知数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中 每一行的第一个数a1,a2,a4,a7,K构成等差数列{bn}，Sn是bn的前n项和，且b1=a1=1,S5=15.
(1) 若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列， 且公比相等，已知a9=16,求a50的值；a1
(2) 设Tn=1
Sn+1+1Sn+2+...+1,求Tn. a2 a3 S2n
a4 a5 a6
（）1Q{bn}为等差数列，设公差为d,b1=1,S5=15,S5=5+10d=15,d=1 \bn=1+(n-1)?1n。
设从第三行起，每行的公比都是q，且q>0，
a9=b4q2,4q2=16,q=2,1+2+3+K+9=45,
故a50=b10q4=10?24160.
n(n+1), 2（2）QSn=1+2+3+K+n=
\Tn=1
Sn+1+1Sn+2+K+1 S2n
=2222n++K+=(n+1)(n+2)(n+2)(n+3)2n(2n+1)(n+1)(2n+1)。 a7 a8 a9 a10
?
R,b22．（本小题满分12分）已知二次函数r(x)=x2+ax+b(a,b为常数，a挝
零点是-a，函数g(x)=lnx,e是自然对数的底数，设函数f(x)=r(x)-g(x).
（1）过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线，证明切点的横坐标为1；
（2）令F(x)=
2解：（1）Q-a是二次函数r(x)=x+ax+b的一个零点，\b=0。 R)的一个f(x),若函数F(x)在区间（0,1〕上是单调函数，求a的取值范围。 ex
\f(x)=x2+ax-lnx, \f'(x)=2x+a-1(x>0). x
x02+ax0-lnx01设切点为P(x0,y0),则切线的斜率k=2x0+a-。 =x0x0
整理得x0+lnx0-1=0.显然，x0=1是这个方程的解。
上是增函数， Qy=x2+lnx-1在（0，+?）
则方程x+lnx-1=0有唯一实数解，故x0=1. 22
f(x)x2+ax-lnxF(x)==,则 exex
F'(x)=-x2+(2-a)x+a-ex
21+lnx， 1+lnx, x设h(x)=-x+(2-a)x+a-
则h(x)=-2x+'11++2-a. 2xx
易知h'(x)在(0,1]上是减函数，从而h'(x)?h'(1)2-a。
①当2-a?0,即a￡2时，h'(x)30,h(x)在区间[0,1]上是增函数。 Qh(1)=0,\h(x)?0在(0,1]上恒成立，即F'(x)￡0在(0,1]上恒成立。 \F(x)在区间(0,1]上是减函数。则a￡2满足题意。
'②当2-a<0，即a>2时，设函数h(x)的唯一零点为x0，
则h(x)在(0,x0)上递增，在（x0,1]上递减。
Qh(1)=0,\h(x0)>0.Qh(e-a)=-e-2a+(2-a)e-a+a-ea+lne-a<0, \h(x)在(0,1)内有唯一 一个零点x'，
''当x?(0,x)时，h(x)<0,当x?(x,1]递增，与在区间(0,1]上是单调函数矛盾。 \a>2不合题意。
综合①②得，a￡2.即a的取值范围是(-?,2]。
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