2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷I)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|
x
，则()．
A．A∩B＝B．A∪B＝R C．B?AD．A?B
2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()．
44
A．－4B．5C．4D．5 ?
3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样
x2y2?=12b2(a＞0，b＞0)
的离心率为，4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：a
则C的渐近线方程为()．
111?xx?x
A．y＝4B．y＝3 C．y＝2D．y＝±x ?
5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的
s属于()．
A．[－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－2,5]
6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()．
500π866π
A．3cm3 B．3cm3
1372π2048π
C．3cm3D．3cm3
7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，
若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()．
A．3B．4C．5D．6
8．(2013课标全国Ⅰ，理8)
某几何体的三视图如图所示，则该
2013全国新课标卷1理科数学第1页
几何体的体积为( )．
A．16＋8π
B．8＋8π
C．16＋16π
D．8＋16π
9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )．
A．5 B．6 C．7 D．8
x2y2
?2=12ab10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于
A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )．
x2y2x2y2x2y2x2y2
?=1?=1?=1?=1453636271892718A． B． C． D．
??x2?2x，x?0，?ln(x?1)，x?0.11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．
A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]
12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….
cn?anbn?an
若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝2，cn＋1＝2，则( )．
A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第
(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.
14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和Sn?21an?33，则{an}的通项公式是an＝_______.
15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.
16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC
中，
2013 全国新课标卷1理科数学 第2页
∠ABC＝90°，AB
BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
PBA.
2013 全国新课标卷1理科数学第3页1 (1)若PB＝2，求PA； (2)若∠APB＝150°，求tan∠
18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
1
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为2，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
2013 全国新课标卷1理科数学 第4页
20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
2013 全国新课标卷1理科数学 第5页
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC
CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
?x?4?5cost,?y?5?5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐已知曲线C1的参数方程为?
标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
2013 全国新课标卷1理科数学 第6页
24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
?a1??,??(2)设a＞－1，且当x∈?22?时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
2013 全国新课标卷1理科数学第7页
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．
答案：B
解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.
∴集合A与B可用图象表示为：
由图象可以看出A∪B＝R，故选B.
2．
答案：D
解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|， z?
∴55(3?4i)34???i3?4i(3?4i)(3?4i)55.
4
故z的虚部为5，选D.
3．
答案：C
解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．
4．
答案：C
c2a2?b25c2e?2??e??2aa4. a，∴解析：∵
b1=?2. ∴a2＝4b2，a
y??
∴渐近线方程为b1x?xa2.
5．
答案：A
解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．
若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.
故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．
综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A.
6．
答案：A
解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．
BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，
2013 全国新课标卷1理科数学 第8页
由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5， 43500π5?π33所以球的体积为(cm3)，故选A.
7．
答案：C
解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.
∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.
m?m?1?m?1a1??22. ∵Sm＝ma1＋×1＝0，∴
m?1?m?32又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴. ?
∴m＝5.故选C.
8．
答案：A
解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在
1
长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×2＋4×2×2＝8π＋16.故选A.
9．
答案：B
mmCC2m解析：由题意可知，a＝，b＝2m?1，
13?
又∵13a＝7b，∴?2m?!?2m?1?!=7?m!m!m!?m?1?!， 132m?1?7m?1.解得m＝6.故选B. 即
10．
答案：D
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上， ?x12y12??1,①??a2b2
?22?x2?y2?1,②?2b2∴?a
①－②，得
?x1?x2??x1?x2??y1?y2??y1?y2??=0a2b2，
2013 全国新课标卷1理科数学 第9页
?y1?y2??y1?y2?b2
=?2a?x1?x2??x1?x2?， 即
∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2， y1?y20???1?1b21==2x?x3?12，∴a2. 2＝kAB＝而1
又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.
x2y2
?=1
∴椭圆E的方程为189.故选D.
11．
答案：D
解析：由y＝|f(x)|的图象知：
①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.
②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.
故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.
当x＝0时，不等式为0≥0成立．
当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.
∵x－2＜－2，∴a≥－2.
综上可知：a∈[－2,0]．
12．
答案：B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第
(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．答案：2
解析：∵c＝ta＋(1－t)b，
∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.
又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，
∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)，
1t
0＝2＋1－t.
∴t＝2.
14．答案：(－2)n－1 解析：∵Sn?21an?33，①
Sn?1?21an?1?33.②
∴当n≥2时，
2013 全国新课标卷1理科数学 第10页
①－②，得an?22an?an?133， an
a即n?1＝－2.
21a1?3， ∵a1＝S1＝3
∴a1＝1.
∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.
5 15
．答案：?
解析：f(x)＝sin x－2cos x
?xx??， ＝
令cos α
sin α
＝
则f(x)
＋x)，
π
当x＝2kπ＋2－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)
π
即θ＝2kπ＋2－α(k∈Z)，
π???π?cos?2kπ+???cos??????25. ??＝?2?＝sin α
＝所以cos θ＝
16．答案：16
解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，
∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，
?b??15?16?4a?b?,?0??8?9?3a?b?, 即?
?a?8,?b?15. 解得?
∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.
由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，
得x1＝－2
x2＝－2，x3＝－2
2013 全国新课标卷1理科数学 第11页
易知，f(x)在(－∞，－2
上为增函数，在(－2
2)上为减函数，在(－2，－2
上为增函数，在(－2
∞)上为减函数．
∴f(－2
＝[1－(－2
－2
＋8(－2
＋15]
＝(－8
－
－＝80－64＝16.
f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]
＝－3(4－16＋15)
＝－9.
f(－2
＝[1－(－2
－2
＋8(－2
＋15]
＝(－8
＋
＋＝80－64＝16.
故f(x)的最大值为16.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
3?
在△PBA中，由余弦定理得PA2
＝117?2cos 30??424.
故PA
＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
sin??
在△PBA
中，由正弦定理得sin(30???)，
＝4sin α.
所以tan α
＝4，即tan∠PBA
＝4.
18．
(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.
又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，
2013 全国新课标卷1理科数学 第12页
所以OC⊥平面AA1B1B，
故OA，OA1，OC两两相互垂直．
????????
以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0
0)，C(0,0
，B(－1,0,0)．
????????????????BBAAAC则BC＝(1,0
，1＝1＝(－1
0)，1＝(0
，
．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量， ??????n?BC?0,??x?0,???????n
?BB1?0,即???x??0.可取n＝
1，－1)． 则?
????n?AC1?????n
AC1AC5. 故cos〈n，1〉＝＝
所以A1C与平面BB1C1C
所成角的正弦值为5.
19．
解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以
P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)
＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2) 41113????
＝161616264.
(2)X可能的取值为400,500,800，并且
1?
P(X＝400)＝411111??161616，P(X＝500)＝16，P(X＝800)＝4.
所以X的分布列为
400?
EX＝1111+500?+800?16164＝506.25.
20．
解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为
N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，(左顶点除外)，
2013 全国新课标卷1理科数学 第13页
x2y2
?=143其方程为(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|
＝|QP|R?|QM|r1，可求得Q(－若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则
4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．
由l与圆M
，
?
解得k
＝.
x2y2?=1y?x34当k
＝4
时，将4，
并整理得7x2＋8x－8＝0，
解得x1,2
＝.
x2?x1|?18
7.
所以|AB|
k??
当184时，由图形的对称性可知|AB|＝7.
18
综上，|AB|
＝|AB|＝7.
21．
解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．
设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，
则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．
由题设可得F(0)≥0，即k≥1.
令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.
①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．
2013 全国新课标卷1理科数学 第14页
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