例12 AX=b,求解判断A???11?能否与对角阵相似. ??01?
解析E?A???1?1?1??0?1??01? ????????01?1??00??00?
?11?故(E?A)x?0的基础解系只含一个解，即A???只有一个线性无关的特征向量，故 01??
?11?不能与对角阵相似. A????01?
?x1?2x2 =3?4x?7x?x?10?123例11设3元非齐次线性方程组? x?x?b23???2x1?3x2?ax3?4
(1) 试判定当a,b为何值时,方程组有无穷多个解?
(2) 当方程组有无穷多解时,求出其通解(要求用它的一个特解和它导出组的基础解系表
示).
测试点线性方程组的讨论 ?1?4解???0??2
?1?0?????0??0203??1203??1(2)?(?4)(1)?0?11?2??07110?(4)?(?2)(1)?????????????01?1b??01?1b?????3a4?0?1a?2???0203?1?12?? 0a?10??00b?2?203?1?12?? 00b?2??0a?10?
所以 当b?2,即b?2?0时,方程组无解;
当 b?2,a?1,即 b?2?0,a?1?0时方程组有惟一解;
当 b?2,a?1即b?2?0,a?1?0时,方程组有无穷多解.这时
??1????取x1,x2为约束未知数,x3为自由未知数,取??2,为方程组的特解, ????0??
??2??为其导出组的基础解系.故方程组的通解为 ???1????1??
??1???2???C?1?. x????C???2???????0???1??
例15设3阶矩阵A的特征值为:?1?1,?2??3?2,且已知A属于特征值?1?1的特征向量为?1?(0,1,?1)T;A属于特征值?2??3?2的特征向量为?2?(1,0,0)T,?3?(0,1,1)T.求矩阵A.
测试点 关于n阶方阵A与对角阵相似的公式:设?1,?2,?3为三阶方阵A的三个特征值,?1,?2,?3依次为A属于特征值?1,?2,?3的线性无关的特征向量,则令 P???1?2??10?3?有P?1AP???0?2
??00
0?
?10?P ??3??0?0?? ?3????10?故 A?P0?2???00
解 令P???1?2?010??100??,???020?. ?3???101????????101???002??为求A,需先求P. ?1
?P?010100??101010?????010100?? E???101010?????????101001????101001????10101?101010???010100?????01010????1?002011???0010?21??1000?0?2??0?????01010?1?1?0010?2?2?1???2?0? 1??2?
??0?
所以P?1??1
??0?
故
120121???2?0? 1??2?
11?1??0?0
?010??100??22??020??2
?????020?100??102?10A?P?P?1??101????????????102?????101????002???011?????01
22?2??
1??
???202???30??0
?2?1?
??012?
?2?
0??1?2?3??2?
例16 已知2阶矩阵A的特征值为?1与2，对应的特征向量分别为
5
（1）A；（2）A ?1?(1,0)T,?2?(?1,1)T.求：
??155
知识点 利用矩阵与对角阵形似将计算A转化为计算???
?00???15
???2???0
5
0?
? ?25?
解 因为2阶矩阵A的特征值为?1与2，对应的特征向量分别为?1?(1,0)T,?2?(?1,1)T.取P???1
?1?1???10??1
?2????，则PAP???,所以
0102????
??10??1?1?1???10??11???1?3?
A?P??P??????????.
?02??01??02??01??02?
??10??15??10??1??10??1??10??1??10??1
A5?[P?P]?P(PP)P?PP?P?????????P
?02??02??02??02??02?
5
?1?1???10??11???1?33?
?????????? ?01??032??01??032?
例17设矩阵A??
?12??50?
，存在?1?(1,2)T,?2?(?1,1)T，使得A?1?5?1 ,B????
?43??2?1?
A?2???2；存在?1?(3,1)T,?2?(0,1)T,使得B?1?5?1,B?2???2.试求可逆矩阵P，
使得PAP?B.
测试点 方阵的特征值和特征向量的定义；方阵能与对角阵相似的充分必要条件及其相应
?1
的等式
解 因为A?1?5?1，A?2???2，令 Q1???1?2????1?1??50??1有 QAQ?11????21??0?1?同理，取Q2???1?2????30??50??1，有QBQ?22??0?1?， 11????故B?Q2??50??1?1?1Q?QQAQQ22112 ??0?1?
?1?1?1?10?1?2?3???3??13??3?13?， 21???????1故取 P?Q1Q2??
则PAP?B.
例3已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3，求一正交变换x?Py，将此二次型化为标准形．
测试点 用正交变换将二次型化为标准形的方法步骤 ?1
?011???解 该二次型的矩阵为A?101 ????110??
求矩阵A的特征值和特征向量
??2?1?1?1?1
?E?A??1??1???2??1?(??2)??1?
?1?1???2?1??1??1?1
1?1?1
?(??2)0??10?(??2)(??1)2，
00??1
令 ??E?A?0,得矩阵A的特征值?1??2??1,?3?2.
??1?1?1??111?????000? 当 ?1??2??1时，?E?A??1?1?1??????????1?1?1???000??
??1???1?????得齐次方程组(?E?A)x?0的基础解系为p1?1,p2?0，这表明p1,p2为矩阵A???????0???1??
的属于特征值?1??2??1的两个线性无关的特征向量.
?2?1?1??11?2??????12?1???当?3?2时，?E?A??12?1??????? ????1?12???2?1?1???11?2??11?2?????01?1? ????03?3????????0?33???000??
?1???得齐次方程组(?E?A)x?0的基础解系为p3?1，故p3为矩阵A的属于特征值?3?2????1??
的特征向量.
?1???2???1???1???(p,?)??1?1????1?将p1,p2正交化，令?1?p1,?2?p2?21?1?0?
??????(?1,?1)22????10??????1??????
??????p3??2???,???,???. 单位化取?1?1?23????12p3??????0??????????????3??????0?，当x?Py时，原二次型化为标准形 得正交阵P??
?1?2
22f??y12?y2?2y3.
????答案
P?????0?，当x?Py时，原二次型化为标准形 22f??y12?y2?2y3.
四. 配方法化二次型为标准形（平方和）.
222例4.用配方法求二次型f(x1,x2,x3)?x1?4x2?x3?2x1x3?4x2x3的标准形，并写出相应的
线性变换。
测试点 用配方法求二次型的标准形
222解 f(x1,x2,x3)?x1?4x2?x3?2x1x3?4x2x3
22?x12?2x1x3?x3?4x2?4x2x3
22 ?(x1?x3)2?[(2x2)2?2(2x2)x3?x3]?x3
2 ?(x1?x3)2?(2x2?x3)2?x3
?y1?x1?x3?222令?y2?2x2?x3，得二次型的标准形f?y1. ?y2?y3?y?x3?3
相应的线性变换为x3?y3,x2?1(y2?y3),x1?y1?y3， 2
?10?x1??1即 x??x2???0???2??x?3??00?1??y1?1??. ???y22?????y3??1??
0?1
0?(??1)2(??1) 测试点 化二次型为规范形的方法 ?解法1 ?E?A?0??1
0?1?
所以矩阵A的三个特征值为1,1,?1
222原二次型的一个标准形为z1 ?z2?z3
222所以原二次型的规范形为 z1 ?z2?z3
2解法2 xTAx?x2?2x1x3
令x1?y1?y2,x3?y1?y2,x2?y3
222则 xTAx?y3 ?2(y1?y2)(y1?y2)?2y12?2y2?y3
222所以原二次型的规范形为 z1. ?z2?z3
答案 C
222例9.若二次型f(x1,x2,x3)?3x1?x2?ax3?2ax1x2正定，则a的取值应满足
_____________.
?3a0??3?a2?0??解 该二次型的矩阵为A?a10,为使其正定?? ????00
所以a
的取值应满足0?a?
a???a?0
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