高等数学（一）密押试卷
一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.lim(1?)x??1x2x?（）
A.e
B.e
C.e
D.e 2?1?2
11??Dlim(1?)2x??lim(1?)x?=e2. x??xx??x??
2.设函数f(x)可导，且limx?02x?2，则f?(1)?（） f(1?x)?f(1)
A.2
B.1 C.1 2
D.0
Cf?(1)?limx?0f(1?x)?f(1)?xlimx?01xf(1?x)?f(1)?1. 2
3. 设y?e?5x，则dy?（）
A.?5e?5xdx
B.?e?5xdx
C.e?5xdx
D.5e?5xdx
A因为y?e?5x，y???5e?5x，所以dy??5e?5xdx.
4.函数y?ex+arctanx在区间[-1，1]上（）
A.单调减少
B.单调增加
C.无最大值
1
D.无最小值
B 因y??ex+
1]上单调增加.
25.xcosxdx? 1?0处处成立，于是函数在（-∞，＋∞）内都是单调增加的，故在[-1，21+x?
A.?2sinx?C B.?21sinx2?C 2
2C.2sinx?C D.1sinx2?C 2
2?xcosxdx?D
6.1122cosxdx?sinx2?C（C为任意常数）. ?22?1
?1(3x2?sin5x)dx?（）
A.-2
B.-1
C.1
D.2
D ?1
?1(3x?sinx)dx??3xdx??sinxdx?2?3xdx?0?2x?1?1025121512310?2. d0t2tedt?（） 7.dx?x
A.xe
B.?xe
C.xe?x2x2x2
D.?xe
B ?x2d0t2dxt2x2tedt??tedt??xe. ??x0dxdx
?z2?（） 8.设z?xy，则?x
A.xy
B.2xy
C.x 2
2
D.2xy+x2
B 因为z?x2y，故?z?(x2)?y?2xy. ?x
9.级数?(?1)n
n?1?k（k为非零常数）（） n2
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散
D.收敛性与k的取值有关
??kkun?(?1)2?0.?un??(?1)n
2?kA n??时，nnn?1n?1n1，显然级数k?2nn?1?1收?2nn?1?
敛，故?un收敛，即?(?1)n
n?1n?1??k绝对收敛. 2n
10.微分方程y???2y??x的特解应设为（）
A.Ax
B.Ax+B
C.Ax+Bx
D.Ax+Bx+C
C 因f(x)?x为一次函数，且特征方程为r?2r?0，得特征根为r1?0，r2?2.于是特解应设为y?(Ax+B)x?Ax?Bx.
二、填空题（11～20小题，每小题4分，共40分） ?2222
sin2x?3，则a?. x?0ax
2sin2x2sin2x22?lim=?3，则a?. lim3x?0axax?02xa3
x?212.函数f(x)?的间断点为 . x?2
x?22 函数f(x)?在x?2处无定义，故x?2为f(x)的间断点. x?2
x?113.曲线y?的铅直渐近线方程为 . 2x?111.设lim
111x?1x?1x?? 当x??时，lim的铅直渐近线. ??，故x??是y?12222x?1x??2x?12
14.过点M(1,2,3)且与平面2x?y?z?0平行的平面方程为. 3
2x?y?z?3 由题意知，所求的方程为2(x?1)?(y?2)?z?3?0，即2x?y?z?3.
15.设函数f(x)???2x?a,x?0,在x?0处连续，则a? .
?3,x?0
x?0x?03 因为函数f(x)在x?0处连续，则limf(x)?lim(2x?a)?a?f(0)?3.
16.曲线y?x2?x在点（1，0）处的切线斜率为.
1 因为y?x2?x，y??2x?1，y?(1)?1，故曲线y?x2?x在点（1，0）处的切线斜率为1.
17.幂级数?(?1)n?1
n?1?1nx的收敛半径R? . 2n?1
1 R?limn??anan?112(n?1)2?1?lim?lim?1. n??n??1n2?1
(n?1)2?1
?2z18.
设z???x?y
?2xy?zxz?
，则，??22222(1?x?y)?x1?x?y?2z?x?2y?2xy故. ???x?y(1?x2?y2)2(1?x2?y2)2
19.设区域D?(x,y)x?y?4，则?22?1xdy???4D
π 1111xdy?dxydS??π=4π. D????44D44D
2y20.设函数z?xe，则全微分dz=2xeydx?x2eydy z?x2ey，?z?z?2xey，?x2ey， ?x?y
则dz=?z?zdx?dy?2xeydx?x2eydy. ?x?y
三、解答题（21~28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤）
21.（本题满分8分）
4
ex?x?1求lim. x?0x
ex?x?1ex?1?lim?0. 解：limx?0x?0x1
22.（本题满分8分）
设曲线方程为y?ex?x，求y?
x?0以及该曲线在点（0，1）处的法线方程.
解：y??ex?1， 则y?
x?0=2.
1(x?0)， 2曲线在点（0，1）处的法线方程为y?1??
即x?2y?2?0.
23.（本题满分8分） ex
x. 计算?1?ex
ex1xxx??e)?ln(1?e)?C（C为任意常数）. 解：?xx?1?e1?e
24.（本题满分8分）
设l是曲线y?x?3在点（1，4）处的切线，求由该曲线、切线l及y轴围成的平面图形的面积S.
解：y?x?3，y??2x，
则切线l的斜率为k?2，
故切线l的方程为y?2x?2.
11312?S???(x?3)?(2x?2)dx?(x?x?x)?. ?0?0331222
25.（本题满分8分）
y函数y?y(x)由方程e?sin(x?y)确定，求dy.
y解：将e?sin(x?y)对x求导，
有e?y??cos(x?y)(1?y?)，
5 y
则y??cos(x?y)， ye?cos(x?y)
cos(x?y)dx. ey?cos(x?y)故dy?
26.（本题满分10分）
设二元函数z?x2?xy?y2?x?y?5，求z的极值. 解：?z?z?2x?y?1，?x?2y?1， ?x?y
?2x?y?1?0，?x??1，由?解得? x?2y?1?0y?1.??
?2z?2z?2z?2，?1，2?2， 2?x?x?y?y
?2zA?2?x?2z?2，B?
(?1,1)?x?y?2z?1，C?2(?1,1)?y?2，
(?1,1)
B2?AC??3?0，A?0，
因此点（-1，1）为z的极小值点，极小值为-6.
27.（本题满分10分）
计算??(x?1)dxdy，其中D是由直线x?0，y?0及x+y?1围成的平面有界区域.
D
解：??(x?1)dxdy=?dx?D0
1
011?x0(x?1)dy =?(x?1)(1?x)dx
1312 =(x?x)?. 033
28.（本题满分10分）
求微分方程y???2y??3y?3的通解.
解：原方程对应的齐次微分方程为y???2y??3y?0，
其特征方程为λ?2λ?3?0，
特征根为λ1??1，λ2?3， 2
6
齐次方程的通解为Y?C1e?x?C2e3x.
设原方程的特解为y??A，代入原方程可得y???1. 所以原方程的通解为y?Y?y??C1e?x?C2e3x?1（C1，C2为任意常数）.
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