刚体的简单运动

刚体的简单运动
§1 . 刚体的平行移动(平动) 刚体的平动 : 刚体在运动过程中,其上任一条直线始终与它的最初位置平行。简称平动或移动.

vA
A A1 A2

rA
B

vB aA
aB B1 B2

r A ? rB ? BA

平面平行四连杆机构

vA ? vB
a A ? aB

o 刚体平动时,其上各点的轨迹形状相同;在同一瞬时,各点的速度、加速度也分别相同.
刚体的平动可归结为刚体内一点的运动.

rB

§2 .刚体绕定轴的转动转动 : 刚体在运动过程中,其中只有一条直线保持不动, 则这种运动称为刚体绕定轴的转动,简称转动. 这条不动的直线,称为刚体的转轴,简称轴. z ? 转角: π 转动方程: ? ? ? (t ) 角速度:

2 d ? d ? 角加速度: ? ? ? ?? ?? ? 2 ?? dt dt ?? ?逆时针为正。

d? ? ?? ?? dt

?

匀速转动：?为常量

? ? ?0 ? ?t

匀加速转动：角加速度为常量

? ? ? 0 ? ?t
1 ? ? ? 0 ? ? 0 t ? ?t 2 2 2 ? 2 ? ?0 ? 2??

§3 .转动刚体内各点的速度和加速度

s ? R?

v
?

速度:

? ? R? ? ? R? v?s
o

s
? R M

方向：沿圆周切线指向转动的一方.

切向加速度: 法向加速度: 全加速度:

?? ? R? a? ? ? s? ? R?
an ? v2

?

?

( R? ) 2

?

? R? 2
a? t an? ? an

a ? an ? a?
2 a ? an ? a?2 ? R ? 4 ? ? 2

矢量表示法
? o R v M ? ? A

?
o R
a?

r

?
A

?

r

M

M点：

v ? R? ? OM ? ? ? ? ? r sin ?

据线性代数

? ? ??r
dr 代入： ? ? ? r dt

（转动刚体上点的速度矢积表示法）
又
dr ?? dt

角速度矢量与角加速度矢量共线

d 2r d d? dr a ? 2 ? ?? ? r ? ? ? r ? ? ? ? ? ? r ? ? ?? dt dt dt dt

d? ?? dt

故

a? ? ? ? r

an ? ? ??

即

a ? a? ? an

§4 .轮系的传动比

v ? r1?1 ? r2?2
传动比：

ω1 r1

ω2 r2

?1 r2 i12 ? ? ?2 r1

ω1 r1

v
r2 ω2

2?n 转速 n 转/分， rpm；角速度 ? ? (1 s ) 60

概念题 1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体（1）越转越快（2）越转越慢（3）不一定

2）平动刚体上点的轨迹不可能为空间曲线 3）某瞬时平动刚体上各点的速度大小相等而方向可以不同

例6-1 如图6－1所示，在连续印刷机的生产过程中，纸张需以匀速 v代入印刷机，设r表示纸筒在任一瞬时的半径，b表示纸的厚度，试导出纸筒角加速度的表达式。【解】注意到纸的速度不变，因此 , ? ? r? ? 常数

b

? r
?
(1) 图6-1

? ?

两边求导得：
故角加速度：

d? dr d? ? ??r ?0 dt dt dt
d? ? dr ? dr ? ? ?? ?? 2 dt r dt r dt

由于每转一周，半径减小b,而当角速度时，半径变化 b dr ? ? d? 2?
dr b d? b ? ? ? ? ? 故： dt 2?

dt 2?

(2)

将(2)式代入(1)式得:

b? 2 ?? 2?r 3

例6-2 如图6-4所示,半径为R的半圆盘在A、B处与曲柄O1A 和O2B铰接。已知 ? O1A= O2B= l = 4cm,O1O2=AB,曲柄O1A的转动律 ?＝4 sin t ,其中t为时间，单位以s计。试求当t=0和 4 t=2s时，半圆盘上M点的速度和加速度，以及半圆盘的角速度 ?ab 。 O2 O1

?
B O R M 图6-2 a nA

?A

a? A

【解】因为半圆盘做平动，故其上各点的运动轨迹相同，且速度，加速度相等。则存在：

? ? ? 4? cos t ? M ? ? A ? l?
4 a
n M

（1）

?a
?

n

A

? 2 ? 4? 2 cos 2 ? l?
2

?
4

t

（2）（3）

a M＝a A＝l? ?? ? －? sin
?

?
4

t

将

t?0

代入以上三式，得：

? M ? 4? cm / s , 方向水平向右
同样

a

?

M

n 2 2 ，方向铅直向上 a ? a ? 4 ? cm / s M ?0 ， M

将 t ? 2 s 代入式（1）、（2）、（3），得此瞬时

?M ? 0

a

n

M

?0

am ? a

?

M

? ??

2

方向垂直于AO1斜向右上方

因为半圆盘作平动，所以其角速度

? ab ? 。0

例6-3 转子启动时的角加速度与时间成正比增大,经过5分钟转子的转速达到18000r/min,试问转子在这段时间内转了多少转？

【解】设比例系数为k，则

? ? kt

即

d? ? kt dt

积分 ?0 d? ? k ?0tdt 1 2 ? ? kt 得 2 2? 当 t ? 5 ? 60 ? 300s 时， ? ? 18000? ? 600? rad / s 60 2 ? 600? ? 故 , k ? 2? ? ? rad / s 2 2 t 300 75
?
t

代入（1）式，得积分：得： ? ?
?0 d? ?
?

??

?

?
150

150

t2

? t dt

t 2 0

?
450

t5

转数：N ? ? ? 1 t 3 ? 1 ? ?300?3 ? 3 ?104 rad / s 2? 900 900

【思考题】
1. 是非题 (1)某瞬时,刚质上有两点的轨迹相同,则刚体做平动。（

?）

(2)如果刚体上任一点的轨迹都是圆曲线,则刚体一定作定轴转动。（）

?

2.选择题 (1).某瞬时，刚体上任意两点A、B的速度分别用 v A

vB

表示，则(

A )
? ?

A、当刚体平动时，必有 ? A ? ? B。

? ? B、当 ? A ? ? B 时，刚体必作平动。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? C、当物体作平动时，必有 A B 的方向 B , 但 A 与可能不同。 ? ? ? A 与 ? B 的方向必然相同，但有可 D、当物体作平动时， ? ? 能 ? A ? ?B

(2). 如图6-6所示平面机构中，O1A=O2B= r, O1O2 =AB, O1A以匀角速度绕垂直于图面的O1轴转动，图示瞬时，C点的速度为：( D )

A.

Vc ? 0

B. Vc ? r 2 ? a 2 水平向右 C. Vc ? r? 0 铅直向上 D. Vc ? r? 0 水平向右 O1 B O2

A 图6-6

a

C

(3).如图6-7所示机构中， M为AB上的点。且 O1 A ? O2 B ? r,

AM ? BM。若O1A按? ? ?t 的规律绕 O1 轴转动， O1O2 ? AB ? l 。则M点的轨迹是（）B
M A.半径为 r 圆 B.半径为 l 圆 1 C.半径为 l 圆 2 D.与AB 平行的

直线 A O1

?
O2 图6-7

（4）半径为 R 的飞轮,绕垂直与图面的O轴转动。图示瞬时， a A 的大小、方向均为已知，则轮缘上A点加速度此时 A点速度大小为（ C ） A. B. C. D.
Ra A Ra A sin ? Ra A cos ? Ra A cos ?

A

O

? a

图6-8

3、平板 A放置在两个半径为 r ? 25cm的圆筒上,如图6-9所示。 2 a ? 0 . 5 cm s 在某瞬时,平板具有向右的匀加速度 A ,在同一瞬 2 时的圆筒周边上一点的加速度 a ? 3m s ,假设平板 A与圆筒之间无滑动,试求该瞬时平板A 的速度 ? A 。

vA ＝0.86m/s 答案：
r

A
r

图6-9

4、如图6-10,摆式运输机构中,摆杆O1 A ? O2 B ? r ? 10cm,

O1O2 ? AB, 已知 O1 A 与 O2 B 成? ? 60?角时,铰接在摆
杆上的平板CD 的端点D 的加速度大小。
答案：?

? 0.5 2rad / s, ? ? 0.5 3rad / s
C

aD

D B

A

O1

?
图6-10

O2